答案题型二求异面直线间的距离栏目链接例在三棱柱中，⊥侧面，为棱上异于的点，⊥，已知，，求异面直线与的距离二面角的平面角的正切值解析作⊥于，以为原点，分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系栏目链接由于，则在三棱柱中有，，设，由⊥，得，即，得，即或舍去，故，即⊥又⊥侧面，故⊥因此是异面直线，的公垂线，则，故异面直线与的距离为栏目链接由已知有⊥，⊥，故二面角的平面角的大小为向量与的夹角因，，故，即规律方法用空间向量求异面直线间的距离有两种方法求公垂线的长度，用空间中两点间距离公式求解转化为点到直线的距离求解栏目链接►变式训练已知直三棱柱的侧棱，底面中，是的中点，求异面直线与的距离解析如图，建立坐标系，则，栏目链接设，的公垂线的方向向量为，则，即，取，则所以，即，取，则所以在两直线上各取点，与的距离为答案题型三求点到平面的距离栏目链接例如图所示的多面体是由底面为的长方体被平行四边形所截而得到的，其中，求点到平面的距离栏目链接解析如图所示，以为坐标原点，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系由题意，得，四边形为平行四边形，则，设平面的法向量为，栏目链接则⇒，取，则又规律方法垂线段法如图，⊥平面，垂足为，则点到平面的距离就是斜线段法若是平面的任斜线段，则在中，法向量法如果平面的法向量为，则栏目链接►变式训练在棱长为的正方体中，分别是的中点，则点到平面的距离为解析以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，栏目链接，设平面的法向量为，则，又，点到平面的距离答案栏目链接析疑难提能力栏目链接求距离时条件应用不当致误典例如图，在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，分别为棱的中点，求点到平面的距离栏目链接解析以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设是平面的个法向量，则⊥，⊥，，可取到平面的距离栏目链接易错剖析本题解答中易出现两类错误是向量的坐标应是终点的坐标减去起点的坐标，在计算向量坐标时易错误二是求点面距时，应是用平面内点和该点构成的向量与平面的法向量来求，求解时易用错公式空间向量与空间距离栏目链接研题型学习法题型求点到直线的距离栏目链接例如右图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱⊥底面为的中点求直线与所成角的余弦值在侧面内找点，使⊥平面，并求出点到和的距离栏目链接解析建立如下图所示的空间直角坐标系，则，的坐标为，从而，设与的夹角为，则，与所成角的余弦值为栏目链接由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由⊥平面可得，，即，，化简得，栏目链接即点的坐标为，从而点到和的距离分别为，规律方法利用向量求点到直线的距离时，不用找到点在直线上的垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点可以任意取，但般选择特殊点，同时直线的方向向量也可以任意取栏目链接►变式训练已知向量与直线垂直，且经过点，则点到的距离为解析，又与垂直，到的距离为答案题型二求异面直线间的距离栏目链接例在三棱柱中，⊥侧面，为棱上异于的点，⊥，已知，，求异面直线与的距离二面角的平面角的正切值解析作⊥于，以为原点，分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系栏目链接由于，则在三棱柱中有，，设，由⊥，得，即，得，即或舍去，故，即⊥又⊥侧面，故⊥因此是异面直线，的公垂线，则，故异面直线与的距离为栏目链接由已知有⊥，⊥，故二面角的平面角的大小为向量与的夹角因，，故