因为四边形为正方形，所以⊥•又因为⊥平面，•所以⊥•因为∩，所以⊥平面•又因为⊥平面，所以•如图，设与的交点为，连接，在中，所以綊綊所以又因为，四边形为平行四边形所以因为，所以所以是的中点•已知∩，⊥于，⊥于，⊥于•求证⊥•探究证与所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可证明⊥利用线面垂直的性质证明垂直问题•证明如图所示，因为∩，⊥于，所以⊥•因为⊥于，所以⊥•因为∩，•所以⊥平面•因为⊥于，所以•因为与确定平面•又因为⊂平面，⊥平面，所以⊥•规律总结要证线线垂直，只需证线面垂直，可利用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论因此，在解题时，要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用线面垂直性质判定线线垂直•如图，已知矩形，⊥平面，⊥于，⊥于•求证⊥•若交平面于，求证⊥分析要证明⊥，转化成证明⊥平面，充分利用其中的垂直关系要证⊥，转化成⊥平面•证明因为⊥平面，⊂平面，所以⊥•因为是矩形，所以⊥•又∩，所以⊥平面因为⊂平面，所以⊥•又⊥，∩，所以⊥平面•因为⊂平面，所以⊥•又⊥，∩，所以⊥平面•所以⊥•因为⊥平面，所以⊥•又⊥，∩，所以⊥平面因为⊂平面，所以⊥•又由有⊥平面，⊂平面•所以⊥又∩，所以⊥平面因为⊂平面，•所以⊥•如右图所示，在直四棱柱中，已知，⊥，•求证⊥线面垂直的性质的综合应用探索延拓设是上点，试确定的位置，使平面，并说明理由探究关键先证明线面垂直，然后证明线线垂直关键构造中位线得线面平行•解析证明连接•，四边形是正方形，⊥•⊥，⊥，∩，•⊥平面，⊂平面，⊥又∩，⊥平面•又⊂平面，⊥•如图，连接，•设∩，∩，连接•平面∩平面，•要使平面，•须使，又是的中点，•是的中点•又易知≌，•即是的中点•综上所述，当是的中点时，可使平面•规律总结线面垂直与平行的相互转化•空间中直线与直线垂直直线与平面平行直线与直线平行可以相互转化，每种垂直与平行的判•又⊂平面，⊥•如图，连接，•设∩，∩，连接•平面∩平面，•要使平面，•须使，又是的中点，•是的中点•又易知≌，•即是的中点•综上所述，当是的中点时，可使平面•规律总结线面垂直与平行的相互转化•空间中直线与直线垂直直线与平面平行直线与直线平行可以相互转化，每种垂直与平行的判定都是从种垂直与平行开始转化为另种垂直与平行，最终达到目的转化关系线线垂直判定定理定义线面垂直性质定理性质判定定理线线平行•如图，已知直四棱柱的底面是菱形，且为棱的中点，为线段的中点•求证平面•求证平面⊥平面证明如右图，延长交的延长线于点，连接因为是的中点，所以为的中点，为的中点又是线段的中点，故又⊄平面，⊂平面平面•连接，•由直四棱柱，•可知⊥平面•又⊂平面，⊥•四边形是菱形，故⊥•又∩，•，⊂平面，•⊥平面•在四边形中，，且，所以四边形为平行四边形，故•⊥平面•又⊂平面，•平面⊥平面•已知⊄，⊥，⊥，求证•错解⊥，⊥，⊂或•又⊄，•错因分析推理逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当•思路分析本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的方法进行论证，应将其集中到个平面内，然后用平面几何知识解决易错点证明说理过程不清晰，理由与结论衔接不恰当误区警示•正解如图，在上任取点，过点作直线设∩，过直线，作平面，∩•⊥，⊥•又⊥，，•⊥，⊥•又，同在内，••又⊄，⊂，•如图，设平面与相交于直线，⊥，⊥，垂足分别为，直线⊥，⊥，•求证•证明⊥，⊥，∩，⊥，⊥•过作⊥垂足为，则，•⊥，⊥，⊥平面•⊥，∩，⊥，•又⊥，⊥平面，•规律总结要证线线平行，不具备公理的条件，没有线面平行面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样个平面⊥⊥，于是作辅助线围绕找展开当堂检测•下列说法中不正确的是•若条直线垂直于个三角形的两边，则定垂直于第三边•同个平面的两条垂线定共面•过直线上点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同个平面内•过条直线有且只有个平面与已知平面垂直•答案•已知直线平面，且⊥，下列条件中，能推出的是•⊂•⊥∩•答案•已知直线⊥平面，直线⊂平面，则下列四个说法中正确的是•⇒⊥⊥⇒⇒⊥⊥⇒•••答案•已知⊥平面，⊥平面，如图所示，且则•答案•解析因为⊥平面，⊥平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以•如图，是正三角形，和都垂直于平面，且是的中点•求证平面•⊥证明取的中点，连结可得，⊥平面，⊥平面，又，，⊥平面，四边形是矩形，，又⊂平面，⊄平面，平面•由知⊥，又⊥，•⊥面，•⊥，，⊥•在中，⊥，•⊥面，⊥点直线平面之间的位置关系第二章直线平面垂直的判定及其性质第二章直线与平面垂直的性质高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习•直线垂直于平面的定义如果条直线垂直于个平面内的条直线，则称这条直线垂直于这个平面•直线与平面垂直的判定定理如果条直线垂直于个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面知识衔接任意相交•如图，长方体中，二面角的平面角是•••••答案•把等腰沿斜边上的高线折成个二面角，此时，那么此二面角的大小是•答案文字语言垂直于同个平面的两条直线符号语言⊥⊥⇒图形语言作用证明两直线•直线与平面垂直的性质定理自主预习平行平行•破疑点直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系知识拓展直线与平面垂直的性质⊥⊂⇒⊥⊥⊥⇒⊥⇒⊥⊥⇒⊥⊥⊥⇒•从圆柱的个底面上任取点该点不在底面圆周上，过该点作另个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是•相交平行•异面相交或平行•答案预习自测•下列命题•垂直于同条直线的两个平面互相平行•垂直于同个平面的两条直线互相平行•条直线在平面内，另条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直•其中正确的个数是•••答案•解析均正确•如图所示，在长方体中，平面，平面，且⊥平面•求证分析只需证明⊥平面即可•证明⊥，⊥，且∩，⊂平面，⊂平面，•⊥平面•又⊥平面，•规律总结证明线线平行可转化为线面垂直，即转化为证明这两条直线同时垂直于个平面高效课堂•如图，正方体中，与异面直线，都垂直相交求证利用线面垂直的性质证明平行问题互动探究探究要证明，转化为证明⊥平面，⊥平面证明如图所示，连接因为⊥平面，⊂平面，所以⊥又⊥，∩，所以⊥平面又⊂平面，所以⊥同理可证⊥又∩，所以⊥平面因为⊥，⊥，又，所以⊥又∩，所以⊥平面所以•规律总结当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化•如图所示，在正方体中，是上点，是的中点，⊥平面•求证是的中点•分析证明，转化为证明⊥平面，⊥平面•利用平行公理和三角形的中位线定理证四边形为平行四边形•证明因为四边形为正方形，所以⊥•又因为⊥平面，•所以⊥•因为∩，所以⊥平面•又因为⊥平面，所以•如图，设与的交点为，连接，在中，所以綊綊所以又因为，四边形为平行四边形所以因为，所以所以是的中点•已知∩，⊥于，⊥于，⊥于•求证⊥•探究证与所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可证明⊥利用线面垂直的性质证明垂直问题•证明如图所示，因为∩，⊥于，所以⊥•因为⊥于，所以⊥•因为∩，•所以⊥平面•因为⊥于，所以•因为与确定平面•又因为⊂平面，⊥平面，所以⊥•规律总结要证线线垂直，只需证线面垂直，可利用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论因此，在解题时，要充分体现线面关系的相互转化在解题中