的中点到准线的距离解析因为直线的倾斜角为，所以其斜率，又，所以直线的方程为联立消去得栏目链接若设则，而设由抛物线定义知，所以，于是线段的中点的横坐标是，又准线方程是，所以到准线的距离等于栏目链接规律方法解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题二是注意焦点弦长焦半径公式的应用解题时注意整体代入思想的运用，简化运算栏目链接►变式训练若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长解析抛物线方程为，抛物线的焦点为准线为，设线段的中点为则到准线的距离为，过分别作与垂直，垂足分别为根据梯形中位线定理，可得再由抛物线的定义知，即线段的长为题型三抛物线几何性质的应用栏目链接例抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上点，且为坐标原点，⊥，垂足为，则的面积是解析如图，设过作⊥轴于，在中由得，故所以点的坐标为将此代入抛物线方程可得，解得或舍，故答案栏目链接规律方法利用抛物线的性质可以解决的问题对称性解决抛物线的内接三角形问题焦点栏目链接若设则，而设由抛物线定义知，所以，于是线段的中点的横坐标是，又准线方程是，所以到准线的距离等于栏目链接规律方法解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题二是注意焦点弦长焦半径公式的应用解题时注意整体代入思想的运用，简化运算栏目链接►变式训练若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长解析抛物线方程为，抛物线的焦点为准线为，设线段的中点为则到准线的距离为，过分别作与垂直，垂足分别为根据梯形中位线定理，可得再由抛物线的定义知，即线段的长为题型三抛物线几何性质的应用栏目链接例抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上点，且为坐标原点，⊥，垂足为，则的面积是解析如图，设过作⊥轴于，在中由得，故所以点的坐标为将此代入抛物线方程可得，解得或舍，故答案栏目链接规律方法利用抛物线的性质可以解决的问题对称性解决抛物线的内接三角形问题焦点准线解决与抛物线的定义有关的问题范围解决与抛物线有关的最值问题焦点解决焦点弦问题栏目链接►变式训练若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为解析双曲线的方程可化为，所以双曲线的左焦点为，又因为抛物线的准线为，所以由题意得，解得答案栏目链接析疑难提能力栏目链接抛物线最值问题中忽视范围致误典例若抛物线上距离点，的最近点恰好是抛物线的顶点，则的取值范围是解析设抛物线上任点的坐标为则，，根据题意知，栏目链接当，即，时，这时当，即时，时取到最小值，不符合题意综上可知答案易错剖析忽视了的取值范围是，，只想到当点在轴负半轴时，最小，导致错选，或胡乱猜测以致错选抛物线的简单几何性质栏目链接掌握抛物线的图形和简单几何性质能运用性质解决与抛物线有关的问题栏目链接研题型学习法题型求抛物线的标准方程及几何性质栏目链接例抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为，求抛物线的方程及抛物线的准线方程解析椭圆的方程可化为，其短轴在轴上，抛物线的对称轴为轴，设抛物线的方程为或抛物线的焦点到顶点的距离为，即，抛物线的标准方程为或，其准线方程分别为和栏目链接规律方法求抛物线的标准方程的般步骤根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向根据焦点位置和开口方向设出标准方程根据条件列出关于的方程解方程，将所求得的值代入所设方程，即可得抛物线方程栏目链接►变式训练顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于的抛物线的标准方程是平面直角坐标系中，有定点若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的标准方程是栏目链接解析依题意知抛物线方程为的形式，又，所以故方程为线段的垂直平分线为，与轴的交点为所以抛物线的焦点为所以其标准方程是答案题型二焦点弦问题栏目链接例已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点若直线的倾斜角为，求的值若，求线段的中点到准线的距离解析因为直线的倾斜角为，所以其斜率，又，所以直线的方程为联立消去得栏目链接若设则，而设由抛物线定义知，所以，于是线段的中点的横坐标是，又准线方程是，所以到准线的距离等于栏目链接规律方法解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题二是注意焦点弦长焦半径公式的应用解题时注意整体代入思想的运用，简化运算栏目链接►变式训练若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长解析抛物线方程为，抛物线的焦点为准线为，设线段的中点为则到准线的距离为，过分别作与垂直，垂足分别为根据梯形中位线定理，可得再由抛物线的定义知