并设则代入原式得据高斯公式同理可得电流元任意闭曲面内以此类推，在闭曲面内，以电流元为球心作辅助球面，因为所以电流元在闭曲面上由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即。高斯定理在电磁学中的应用第页，共页斯定理的直接证明图如图所示，电荷量为的带电体中任点处的电荷密度为,则由电场强度定义知该带电体在空间点产生的电场强度为式中为对任意闭合曲面求面积分，即得由式可得是对的微分算符，与式中最后步用到了函数的筛选性，将式代入式中得高斯定理在电磁学中的应用第页，共页当电荷包含在闭合曲面内时，则当电荷的不包含在闭合曲面内时，则由此高斯定理得证。斯定理的另种证明图如图所示，设有电量为孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意为半径作球面为高斯面，球面上任意点的场强为方向沿径向离开球心，和球面上该点的法线正方向相同。通过该闭合曲面的电通量为与半径无关。这结果根据电通量的定义表明,电量为的正点荷发出条电场线,由于电通量与半径无关,说明电场线是不间断的若为负电荷,则表明有条电场线汇集到这个负点电荷上,同样这些电场线也是不间断的。由于电场线是不间断的,面外电荷不影响闭合曲面的电通量。现在我们设想这个点电荷不位于球心而位于球面内任意点处,那么据以上分析同样得穿过这个闭合球面的电通量亦为。现在我们进步设想,电量为的点电荷不是位于球面内而是位于任意的闭合曲面内,则同样得到结论,通过这个闭合曲面的电通量。若闭合曲面内包含个点电荷,其中个是正的,个是负的。设个正点电荷所带的总电量为则这个点电荷发出条不间断的电场线个负点电荷所带的总量为，则这个负点电荷汇集条不间断的电场线，据电通量的定义,发出的即穿出闭合曲面为正,汇集的即进人闭合曲面的为负,所以通过闭合曲面的电通量为高斯定理在电磁学中的应用第页，共页即这里有可能出现面内些正电荷发出的电场线没有穿出闭合曲面而直接汇集到负电荷上，也就是说，负电荷汇集的电场线不是由闭合曲面外来的，而是由闭合曲面内来的，这并不影响我们的结论。因此就般情况而言，若任闭合曲面内包围的净余电荷为，则穿过这个闭合曲面的电通量为对称性原理在电磁学中的应用日常生活中常说的对称，是指物体或个系统各部分之间比例适当平衡协调致，从而产生种简单性和美感。这种美来源于几何确定性，来源于群体与个体的有机结合。数学物理中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。物理学中的对称性观念可以概括为如果现象或系统在变换下不改变，则说该现象或系统具有改变换所对应的对称性。因此物理定律中的对称性又可以称为不变性。所谓对称性原理即为原因中的对称性比反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性多样性那样多结果中的不对称性必在原因中有所反映，即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那样多在不存在唯性的情况下，原因中的对称性必反映在全部可能的结果的集合中，即全部可能的结果的集合中的对称性至少有原因中的对称性那样多。这个原理是由皮埃尔居里首先提出来的。这个原理指出，自然规律反映了事物之间的因果关系，即等价的原因导致等价的结果。对称的原因导致对称的结果。例如利用对称性分析长直密绕载流螺线管内磁感应线的形状。原因螺线管对任意垂直于轴的平面镜像对称平行于轴的直线上的点具有平移对称性，所以只有垂直于镜面的分量。结果是轴矢量。镜像变换后垂直分量不变，平行分量反向。对称性与守恒律是密切联系的，在电磁学中对称性有着广泛的作用，以下将从几个方面分述对称性在电磁学中的若干具体的应用例求段长为，线电处处为零时,是否高斯面内定无电荷高斯定理是否在任何情况下都成立哪些问题用高斯定理解决会简便些等等这就涉及是否对高斯定理理解正确,对其数学表达式的理解是否存在数学负迁移情况,只要对高斯定理注意掌握几个要点，就能对上面的问题有比较清醒的认识了定理中的是指空间处的总电场强度空间中处的电场强度为空间中所有电荷所激发的电场在该处场强的矢量和若任意作个假想的闭合曲面高斯面通过该处,用内外分别表示高斯面内外的电荷在高斯面上产生的场,则在该处的总场强内外由高斯定理有,电场线始于正电荷,终于负电荷,当电场中的闭合曲面内不含有电荷时,电场线仅穿过此闭合曲面,这些进入闭合曲面的电场线总条数与穿出闭合曲面的电场线总条数相等,故通过整个闭合曲面的电场强度通量为零所以指外部场强高斯定理在电磁学中的应用第页，共页故指内部场强即高斯定理对高斯面内的电荷产生的场而言,也成立注意和矢量性在对高斯定理的理解上常常出现不注意物理量的矢量性问题有些人认为当,由于所以必有实际上,,表明始于闭合曲面内正电荷的电场线与终于闭合曲面内负电荷的电场线数相等,则穿出闭合曲面的电场线数与进入闭合曲面的电场线数相等,即通过整个闭合面的电场强度通量为零曲面上电场强度处处为零因为高斯面上处的场强是高斯面内外电荷在该处产生的场强的矢量和,所以,即便高斯面内的,也无法完全确定由于和式中是矢量的标积关系,因此存在二者的方向问题,如果≠,而它与,仍有故不能由是否为零。正确理解定理中的高斯面内正负电荷电量的代数和当通过高斯面的电通量为零时,个结论既可表明高斯面内有电量相等的正负电荷,也可表明高斯面内无电荷因此,不能肯定高斯面内定无电荷不能只从数学的角度理解有些人在对高斯定理的数学表达式的理解上常出现数学负迁移问题,得出这样的结论当闭合曲面上处处为零时,不定有曲面内电量的代数和内部场强，外部场强当时,并不定分别有内和外内不定为零,所以高斯定理在电磁学中的应用第页，共页,即当闭合曲面上的处处为零时,这显然与高斯定理相悖因为当处处为零时必有通过整个高斯面的电通量为零,而高斯面外的电荷激发的电场通过整个高斯面的电通量为零外部场强,所以必有高斯面内电荷的电通量为零内部场强，这里可以有两种情况是内二是内≠,但论是哪种情况,都有。从数学上讲时或≠但必有,而,不定在高斯面上处处为零,即数学上描述的是通量而不是,它完全是由高斯面内的电荷代数和从物理上讲,高斯面上各点的是由所有电荷面内面外所激发的对高斯面的理解有些人提出这样的问题如果电荷既不在高斯面内,也不在高斯面外,而是在高斯面上,高斯面上的场强怎样计算实际上,高斯面是个几何面,它没有厚薄之分,却有内外之分,电荷要么在高斯面内包括内表面,要么在高斯面外包括外表面,必须把高斯面作为几何面,而把点电荷的点视为物理上的点高斯定理是平方反比定律的必然结果由于高斯定理是由点电荷间相互作用的平方反比定律库仑定律得出的,所以高斯定理是点电荷作用力的平方反比定律的必然结果如果库仑定律中,的指数不是,而是,则点电荷的场强的大小应表示为以点电荷为中心,作半径为的球面为高斯面,则从而得不到高斯定理的结论所以,只有在点电荷作用力服从平方反比定律的条件之下,高斯定理才成立,否则不成立但到目前为止,理论和实验表明点电荷作用力的平方反比定律是相当精确的高斯定理的应用用高斯定理求解无电介质时的电场强度高斯定理在电磁学中的应用第页，共页由于的是的场强,而不是整个高斯面上的场强所以,般来说高斯面上的场强并非定处处相等,即并不定是恒矢量,故无法从积分号内提出,因此难以用高斯定理计算出场强来但若选择合适的高斯面,能使电场强度从积分号中提出来,就能用高斯定理求解场强了,作高斯面时应注意需求场强的场点要在高斯面上高斯面上各部分或者与场强垂直,或者与场强平行,或者与场强有恒定的夹角各部分高斯面上垂直于高斯面的场强的大小应各自为常值高斯面的形状应比较简单为此,当电场具有球对称时,高斯面选为同心球面具有很强的轴对称时,选为同轴柱面具有面对称时,选为柱面,并使两底与垂直,侧面与平行由于作高斯面有如上限制,因此用高斯定理只能求些对称分布电场的场强用高斯定理求场强的步骤可归纳为分析带电体所产生的电场是否具有对称分布的特点选取合适的高斯面再由高斯定理求电场的场强分布高斯定理的微分形式从严格意义上,高斯定理表为为场强对闭合曲面通量的积累效应,为净余通数学上称积分形式,不能算作方程因此,在理解它所描述的静电性质上有定难度如果我们将任面缩小,并让它趋于零,即是以体积为边界的闭合曲面,显然上式描述的是电场中点的电场特征,定义为点电场强散度这就是高斯定理的微分形式,在电场中是点点对应的关系在散度处必有这就清高斯定理在电磁学中的应用第页，共页楚地表明了静电场的重要性质静电场是有源场,电力线总是起于正电荷而终止于负电荷高斯定理的个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高度对称的带电体，才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面时，应注意场强是面积元的，随不同，也不同场强是全部带电体系中无论在高斯面内还是在高斯面外所有电荷产生的总场强，而是因为高斯面外的电荷对总通量没有贡