为由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为，由，消去得考点探究，则，且故因为直线的斜率依次成等比数列，所以，即，又，所以，即考点探究由于直线，的斜率存在，且，得且设为点到直线的距离，则，所以的取值范围为，点评直线与圆锥曲线相交，般是将直线方程代入到圆锥曲线方程中，消去或转化为关于或的二次函数，再利用判别式根与系数的关系以及题目的其他条件解决问题考点探究变式探究已知双曲线方程是，过定点，作直线交双曲线于，两点，并使，为的中点，则此直线方程是解析设点则由两式相减得，从而所求方程为将此直线方程与双曲线方程联立得故此直线满足条件考点圆锥曲线的弦长问题考点探究例过点，作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，求直线所在的直线方程和线段的长度解析设由两式相减得，显然不合题意，，考点探究，从而直线的方程为，即由得点评由点差法可容易求解出直线方程，知道直线方程，借助弦长公式可求出线段的长度本题采用了设而不求的方法，即设点代入作差，借助于直线的斜率解题，即，又，所以，即考点探究由于直线，的斜率存在，且，得且设为点到直线的距离，则，所以的取值范围为，点评直线与圆锥曲线相交，般是将直线方程代入到圆锥曲线方程中，消去或转化为关于或的二次函数，再利用判别式根与系数的关系以及题目的其他条件解决问题考点探究变式探究已知双曲线方程是，过定点，作直线交双曲线于，两点，并使，为的中点，则此直线方程是解析设点则由两式相减得，从而所求方程为将此直线方程与双曲线方程联立得故此直线满足条件考点圆锥曲线的弦长问题考点探究例过点，作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，求直线所在的直线方程和线段的长度解析设由两式相减得，显然不合题意，，考点探究，从而直线的方程为，即由得点评由点差法可容易求解出直线方程，知道直线方程，借助弦长公式可求出线段的长度本题采用了设而不求的方法，即设点代入作差，借助于直线的斜率解题，这种方法称为“点差法”，是解析几何解决直线与圆锥曲线问题的常用的技巧之，应在理解的基础上进行训练考点探究变式探究设过原点的直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰好过抛物线的焦点求直线的方程的长考点探究解析当时，与轴重合，不合题意，所以设，抛物线的焦点由，⇒设则，因为⊥，所以或用，又得，考点探究代入得，所以由得，所以弦的长为考点圆锥曲线中的定点或定值问题考点探究例如图所示，椭圆有两顶点过其焦点，的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点直线与直线交于点当时，求直线的方程当点异于，两点时，求证为定值考点探究解析因为椭圆焦点在轴上，设椭圆的标准方程为由已知得所以，椭圆方程为直线垂直于轴时与题意不符设直线的方程为，将其代入椭圆方程，化简，得设则考点探究由已知得，解得所以直线的方程为或证明直线与轴垂直时与题意不符设直线的方程为且，所以点坐标为，设由知，直线的方程为，直线的方程为将两直线方程联立，消去得考点探究因为所以与异号又，与异号，与同号，考点探究，解得因此点坐标为，故为定值点评解决这类定点定值问题由两种方法是研究般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且不易找到思路二是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向考点探究变式探究陕西卷已知动圆过定点且在轴上截得的弦的长为求动圆圆心的轨迹的方程已知点设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点若轴是的角平分线，证明直线过定点考点探究解析设圆心线段的中点为，由几何图形知所以，整理得证明点设由题设知，，所以得，考点探究因为，所以，直线方程为，即，所以因为上式对任何都成立，所以，所以，直线过定点，高考总复习数学理科第七章平面解析几何第十二节直线与圆锥曲线的位置关系了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用了解圆锥曲线的简单应用理解数形结合的思想考点直线与圆锥曲线的公共点个数考点探究例过点，作直线，当斜率取何值时，与抛物线有且只有个公共点，两个公共点，无公共点思路点拨由图可知，与抛物线有公共点，斜率必存在，故可得的点斜式方程与抛物线方程构成的方程组，判定方程组有无解，就为所求的情形自主解答考点探究解析直线的方程可设为联立得时，只有个公共点此时直线平行于抛物线的轴时，由解得或，直线与抛物线相切于个公共点时，由解得，直线与抛物线相交于两个公共点考点探究时，可言考点探究变式探究过点，作直线，使它与抛物线仅有个公共点，这样的直线有条条条条解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有条直线，过点，且平行于轴的直线以及过点，且与抛物线相切的直线故选考点直线与圆锥曲线相交问题考点探究例已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点，求椭圆的方程设不过原点的直线与该椭圆交于，两点，满足直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围考点探究思路点拨设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出的值，代入椭圆方程即可设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去得到关于的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出的值，利用判别式大于得到的范围，将面积用表示，求出面积的范围自主解答考点探究解析由题意可设椭圆方程为，则，故，所以，椭圆方程为由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为，由，消去得考点探究，则，且故因为直线的斜率依次成等比数列，所以，即，又，所以，即考点探究由于直线，的斜率存在，且，得且设为点到直线的距离，则，所以的取值范围为，点评直线与圆锥曲线相交，般是将直线方程代入到圆锥曲线方程中，消去或转化为关于或的二次函数，再利用判别式根与系数的关系以及题目的其他条件解决问题考点探究变式探究已知双曲线方程是，过定点，作直线交双曲线于，两点，并使，为的中点，则此直线方程是解析设点则由两式相减得，从而所求方程为将此直线方程与双曲线方程联立得故此直线满足条件考点圆锥曲线的弦长问题考点探究例过点，作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，求直线所在的直线方程和线段的长度解析设由两式相减得为由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为，由，消去得考点探究，则，且故因为直线的斜率依次成等比数列，所以，即，又，所以，即考点探究由于直线，的斜率存在，且，得且设为点到直线的距离，则，所以的取值范围为，点评直线与圆锥曲线相交，般是将直线方程代入到圆锥曲线方程中，消去或转化为关于或的二次函数，再利用判别式根与系数的关系以及题目的其他条件解决问题考点探究变式探究已知双曲线方程是，过定点，作直线交双曲线于，两点，并使，为的中点，则此直线方程是解析设点则由两式相减得，从而所求方程为将此直线方程与双曲线方程联立得故此直线满足条件考点圆锥曲线的弦长问题考点探究例过点，作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，求直线所在的直线方程和线段的长度解析设由两式相减得，显然不合题意，，考点探究，从而直线的方程为，即由得点评由点差法可容易求解出直线方程，知道直线方程，借助弦长公式可求出线段的长度本题采用了设而不求的方法，即设点代入作差，借助于直线的斜率解题