了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯性存在性和差分格式的相容性收敛性和稳定性。对于个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第层的近似值时要用到第层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造般有以下种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的种守恒原理，般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造些精度较高的差分格式。本论文热传导方程初边值问题的差分方法分离变量法分离变量法是求解各种类型的线性偏微分方程初边值问题的普遍方法之本文主要研究了在般边界条件下，利用分离变量法解有界弦振动方程和维热传导方程的般方法，得到了特征值参数满足的般方程对于非齐次方程和非齐次边界条件的情形，我们利用叠加原理，同样给出了其具有级数形式的解同时，本文还就施图姆刘维尔特征值问题进行了简要阐述，说明了施图姆刘维尔特征值问题是分离变量法的理论基础最后，我们验证了已知函数满足定条件的情况下古典解的存在性对于有界弦振动方程或者热传导方程，我们可以给出不同的初边值条件，从而得到不同的混合问题这里，我们考虑般性的情况，主要给出在般边界条件下，如何解上述两类方程的混合问题至此，我们得出了般边界条件下，利用分离变量法得出形式解的般方法，同时得到了特征值满足的般方程。在解决具体问题时，我们可以直接利用方程给出特征值，进而得到特征函数在解特征值问题时，我们直接利用了施图姆刘维尔理论的相关结论，也得到了很好的结果，给出了般边界条件下非齐次方程的形式解。当然，分离变量法是有局限的，例如对于非齐次方程非齐次边界条件的情况，我们无法直接分离变量。但是，利用线性方程的叠加原理，我们可以将此类问题分为非齐次方程齐次初边值条件和齐次方程齐次边界条件两种问题的解的和。本文没有用这种方法，而是直接利用了已知函数关于特征函数的展开，而后再用拉普拉斯变换得出了形式解。可以验证，这两种途径得出的形式解是样的。同时，本文并未就初边值问题解的唯性和稳定性进行讨论。实际上，对于波动方程和热传导方程唯性与稳定性的研究还涉及到其它理论，例如能量不等式和极值原理等，这里就不再说明了。然后我们用分离变量法求解下面热传导方程初边值问题又限于在节点上考察，中的初始条件与边界条件可分别化为,略去右端的小量，就得到用差分法求解初边值问题的格式这里由于差分方程的解与原初边值问题的解般是不同的，故用不同的记号表示之。很明显，用格式近似热传导方程的初边值问题，所忽略掉的项，即截断误差是记,格式可以简写为它表示在第排任内节点上之值依赖于它在第排上三个节点上之值。最后我们来看看初边值问题差分法的实例应用隐式差分格式来求解上述问题。对每种情况，令,其中的这个值对格式有最小的截断误差，由初值条件和边值条件通过上述格式的每个逐层求出的值。般而言，当由第层去求解第层的解时，上述格式的每个都需解线性代数方程组，其系数是三对角阵，可用追赶法求解。方法因为有所以有于是有所以时当时当时当即所以得到三对角矩阵已知上述定解问题的理论解，记为，有记,分别为计算机解出格式和格式的解，而,分别表示他们对精确解的误差，在,时间层上它们的值由下表给出。结论可见差分法是可以很好地求解热传导方程的初边值问题的。致谢将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师陈慧琴我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢,这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正,参考文献谷超豪李大潜陈恕行郑宋穆谭永基数学物理方程高等教育出版社戴嘉尊，邱建贤微分方程数值解法东南大学出版社刘晓艳刘学深微分方程数值分析基础教程清华大学出版社蔡光兴微分方程基础及应用科学出版社丁同仁李承志常微分方程教程高等教育出版社常微分方程科学出版社庞特里亚金常微分方程高等教育出版社袁相碗常微分方程南京大学出版社菲利波夫常微分方程习题集上海科技出版社陈祖兴偏微分方程中国科技大学出版社齐明友广义函数与数学物理方程高等教育出版社姜礼尚数学物理方程讲义高等教育出版社王芳婷数学基础科学出版社卢丁数学分析原理高等教育出版社斯皮瓦克流形上的微积分科学出版社毕业论文设计题目热传导方程初边值问题的差分解法院系数学与计算机科学学院专业年级级数学与应用数学系姓名学号指导教师年月摘要文章目的是为了探讨热传导方程初边值问题的差分解法。本文包括以下两部分主要内容第部分即是对比传统热传导方程初边值问题的变量分离法的差分解法第二部分即是热传导方程初边值问题差分解法的具体例子。其中主要涉及到的方法有热传导方程初边值问题的分离变量法和有限差分法。那么先具体介绍有限差分法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格近似替代，即采用有限差分公式替代每个格点的导数逼近求解。换而言之，这过程可以看作是用个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。对比与分离变量法，有限差分法有着其特性，方便且更精确的特性。经过下面的番比较，我们有理由相信有限差分法是大有用途的。关键词差分格式步长网络节点截断误差目录绪论热传导初边值问题分离变量法的介绍热传导初边值问题分离变量法的具体应用热传导初边值问题有限差分法的介绍对于显式与隐式有限元的理解两种算法的比较显式算法隐式算法求解时间两种方法的应用范围总结有限差分法求解此热传导方程初边值问题初边值问题差分法的实例致谢参考文献绪论关于有限差分法的目的即是如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯性存在性和差分格式的相容性收敛性和稳定性。对于个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第层的近似值时要用到第层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造般有以下种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的种守恒原理，般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造些精度较高的差分格式。本论文热传导方程初边值问题的差分方法分离变量法分离变量法是求解各种类型的线性偏微分方程初边值问题的普遍方法之本文主要研究了在般边界条件下，利用分离变量法解有界弦振动方程和维热传导方目录绪论热传导初边值问题分离变量法的介绍热传导初边值问题分离变量法的具体应用热传导初边值问题有限差分法的介绍对于显式与隐式有限元的理解两种算法的比较显式算法隐式算法求解时间两种方法的应用范围总结有限差分法求解此热传导方程初边值问题初边值问题差分法的实例致谢参考文献绪论关于有限差分法的目的即是如何根据问题的特点将定解