数,则得到方程参数形式的通解,且当时,也是方程的解总结由于此方程的形式与前面所分析的类型不致可以先观察所给的方程的形式,利用变量代换的思想,经过系列变换,化为我们最熟悉的形式方程不能就,或解出对于形如,或,的方程,引入参数,将方程表示为参数形式,再注意到关系式,就将问题转化为求解关于或与的阶方程,且其导数或已表示为的已知函数,最后的工作就是求积分的问题例求解解令,则原方程可化为,则,由于,则,两边同时积分,则则原方程的通解为,例解令,代入原方程为则由,则,即,两边同时积分则原方程的通解为,以上总结了阶常微分方程的几种解法,熟悉各种类型方程的解法,正确而又敏捷地判断个给定的方程属于何种类型,从而按照所介绍的方法进行求解,这是最基本的要求但是我们所遇到的方程未必都恰好是所介绍过的方程类型,因此要注意学习解题的技巧,善于根据方程的特点,引进恰当的变换,将方程化为能求解的新类型,从而求解阶微分方程的求解有众多方法,技巧性很强,想进步详细了解可参考常微分方程手册高阶常微分方程的求解方法高阶常系数线性微分方程的般形式是其中,为常数,为连续函数依据常系数线性微分方程的通解结构理论,知方程的通解可表示成该方程的个特解与其对应的齐次方程的通解之和方程对应的齐次方程,由于它具有线性结构,般采用待定指数函数法可以得到通解,因而非齐次方程的通解的计算只需寻到它的个特解即可有关特解的计算方法较多,如常数变易法,待定系数法,积分法等,因此接下来介绍线性微分方程的求解方法的几种归类常数变易法例已知齐次线性微分方程的基本解组求下列方程对应的非齐次线性微分方程的通解解应用常数变易法,令,将它代入方程,则可得,解得,由此,则原方程的通解为总结利用阶常微分方程的常数变易法的思想,推广到高阶常微分方程,关键是找出决定,的方程组,从而求出高阶方程的通解由此可知,常数变易法般用于给定非齐次线性微分方程特解的方程,这种方法简洁明了,但是比较局限,是最基本的解法特征根法主要是利用把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题的思想我们知道简单的阶方程,其中为常数,它有特解,由于与都是常系数线性齐次方程,因而猜想方程也有形如的解,其中是待定常数,为了确定出使为的解的,先将它代入方程中,实际上有,其中称为特征多项式则为方程的解的充要条件是,即应是方程的根下面分两种情况讨论特征根互异首先,假设有个互异的实根,这时,依上述讨论,方程有个特解,,则函数为方程的通解,其中,为任意常数例求方程的通解解特征方程为,故特征根为,因而基本解组为,故所求通解为,其数函数,正弦或余弦函数以及它们的种乘积组合,然后根据的前面所归纳的类型,从而求出方程的特解,进而求出通解拉普拉斯变换它无需求出已知方程的通解,而是直接求出它的特解来,从而在运算上得到很大简化,这方法的基本思想是先通过拉普拉斯变换将已知方程化为代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,便可得到所求初值问题的解由积分所定义的确定于复平面上的复变数的函数称为的拉普拉斯变换,其中与有定义,且满足不等式,这里,为两个正常数,这时为原函数,而称为像函数例求函数的拉普拉斯变换解例解方程解由于,从而则,故,由于,故所求初值解为当然,方法本身也有定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数,否则方法就不适用了,关于拉普拉斯变换的般概念及基本性质,请参阅有关书籍幂级数解法幂级数解法待定的是级数的系数,因而通常计算较大,其实幂级数解法适用二阶以上的高阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程,也能求其特解或通解二阶线性方程在近代物理学以及工程技术中有着很广泛的应用,其中幂级数解法不但对于求解方程有意义,而且还由此引出了很多新的超越函数,在理论上是很重要的下来给出两个定理,若要了解定理证明过程,可参考有关书籍定理如果在点的邻域内解析,即它们可展成的幂级数,且,则的解在的邻域内也能展开成为的幂级数定理如果在的邻域内解析,而为的重零点,是的不低于重的零点,若,是的不低于重的零点,若,则方程至少有个形如的广义幂级数解,其中为实数若要了解幂级数的详细解法可以参考常微分方程,这里不做具体分析总之,不同的方法用于不同类型的方程,这是应用之时必须特别注意之点参考文献朱思铭,王寿松等常微分方程北京高等教育出版社汤光宋,余复民应用交换变量位置法解两类阶常微分方程兰州工业高等专科学校学报,焦洪田阶非线性微分方程的常数变易法雁北师范学院学报周斌常数变易法在数学分析中的应用内江师范学院学报,曹玉平阶线性变系数微分方程组的矩阵解法河北理工学院学报阮炯差分方程和常微分方程上海复旦大学出版社黄雪燕常微分方程的化归思想长春师范学院学报,李鸿祥对关于的特解文的意见高等数学研究,刘林平常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法内蒙古农业大学学报,黄启昌,任永泰,陈秀东等常微分方程东北师范大学数学系微分方程教研室编人民教育出版社线性常微分方程的若干初等解法探讨摘要介绍求解常微分方程的几种初等解法,如常数变易法,积分因子法,拉普拉斯变换法等,在学习过程中,通过对不同类型的方程解法,揭示了常微分方程的求解规律,从而找到最优解法关键词常数变易法积分因子特征根法拉普拉斯变换引言常微分方程是数学分析或基础数学的个组成部分,在整个数学大厦中占据着重要位置,学好常微分方程基本理论与方法对进步学习研究数学理论和实际应用均非常重要,对于常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分,也与实际问题密切相关恰当对初等解法进行归类,能正确而又敏捷地判断个给定的方程属于何种类型,从而能按照所介绍的方法进行分解阶常微分方程的求解方法方程能解出变量分离方程形如的方程称为变量分离方程,分别是,的连续函数例解将变量分离得两边积分得因而通解为为任意常数这是种相当简洁的解法,是最基本的解法,对于比较复杂的方程,需经过系列变换,最后利用变量分离求解常数变易法对于阶线性齐次方程它的通解为从此出发,将通解中的任意常数换成待定函数,假设为阶线性非齐次方程的解,为了确定,将代入的左边,得到从而得到,即积分后得到,其中为任意常数把代入中,得到方程的通解为例解方程解方程变形为令,则代入变形方程为利用常数变易法,其中,则它的通解为代回原来的变量,得到即原方程的通解为此外,方程还有解常数变易法实际上也是种变量替换法,虽然用其来解阶非齐次线性微分方程时和变量代换法并无原则区别,但将它推广到解高阶线性微分方程和线性微分方程组时就显出了它的优越性,变易常数思想是解微分方程的重要数学思想,对非线性方程如贝努利方程,黎卡提方程也可使用常数变易法求解,并且常数变易法在数学分析中有很多应用,比如求解中值问题及存在性问题,祥见文献积分因子法把阶线性微分方程改写为如下的对称形式,般而言,不是恰当方程,但以因子乘两侧,得到方程,即它是恰当方程,由此可直接积分,得到这样就求出了方程的通解为任意常数,其中为积分因子,般情况下,积分因子是很难寻求的,只有在很特殊的情况下才很容易求得例求解解因为,则方程不是全微分方程,若把原方程改写为可以看出积分因子,因为上式两端同乘以,有即从而得到方程的通积分,或此解法,目的明确,方法自然,学生很容易接受,逐步改变了上来就直接用任意常数变易法求解阶线性微分方程的方法,取而代之是按上述方法步步求解,这过程使我们顺利掌握了阶线性微分方程的通解,同时更容易理解任意常数变易法,这样从不同角度,用不同方法解决了同问题,更能深刻的体会到任意常数变易法的巧妙之处方程不能解出这时把看作是的函数,再看是否能解出,成为方程,可用以上方法求解但对于不能显性表示为,或,或的方程,可分为两类方程能就或解出,或,这时令或把问题转化为求解关于与或之间的阶方程或,再利用以上方法,求得通解为或则它与,或,起构成原方程的通解的参数形式例研究克莱洛方程解令代入原方程假定两次可微且两端对求导,得取则代入得到通解取,则即由于,则中第式存在隐函数,代入第二式就得到个解,则这个解也可以由联立方程来表达故克莱洛方程除了通解之外,还有个由所决定的解例求解解令,代入原方程两边同时对求导,则,则,则当时,当时,,则,为任意常数,则得到方程参数形式的通解,且当时,也是方程的解总结由于此方程的形式与前面所分析的类型不致可以先观察所给的方程的形式,利用变量代换的思想,经过系列变换,化为我们最熟悉的形式方程不能就,或解出对于形如,或,的方程,引入参数,将方程表示为参数形式,再注意到关系式,就将问题转化为求解关于或与的阶方程,且其导数