中，，≌全等三角形对应边相等当旋转到点在条直线上时，中结论仍然成立证明同本章总结提升点评当完成本题后，可以利用旋转变换改变图形探究结论是否仍然成立，这有利于培养学生的创新精神和探究问题的能力本章总结提升►类型之二利用三角形全等证明有关结论思想方法全等三角形的对应边相等和对应角相等，所以在平面几何中，证明两线段相等两个角相等两条直线互相平行两条直线互相垂直等问题时，常常可以通过证明三角形全等来实现有时在整个证明过程中往往要完成多次三角形全等的证明，才能解决待证或待求的问题例如图所示，求证解析和分别在与或与中，由已知条件不能直接推导它们全等，结合图形，连接，可证≌，得，再去证≌本章总结提升证明连接在和中，，≌，，即在和中，，≌全等三角形对应边相等本章总结提升点评当条件不足时，常常通过添加辅助线得出新的条件，进步完成问题的解答连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决，是数学常用的方法，它可使复杂问题简单化，并能够较清晰地找到边的关系针对训练本章总结提升如图所示，在四边形中平分求证证明在上截取，连接易证≌过点作⊥于点本章总结提升，又，≌，本章总结提升►类型之三利用角平分线的性质或判定证明有关结论思想方法角的平分线不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，以及到角两边距离相等的需证它们所在的和全等，结合已知条件易证由于旋转后和形状没有变化，而且和仍然相等，和全等，则结论仍成立本章总结提升解证明，，即在和中，，≌全等三角形对应边相等当旋转到点在条直线上时，中结论仍然成立证明同本章总结提升点评当完成本题后，可以利用旋转变换改变图形探究结论是否仍然成立，这有利于培养学生的创新精神和探究问题的能力本章总结提升►类型之二利用三角形全等证明有关结论思想方法全等三角形的对应边相等和对应角相等，所以在平面几何中，证明两线段相等两个角相等两条直线互相平行两条直线互相垂直等问题时，常常可以通过证明三角形全等来实现有时在整个证明过程中往往要完成多次三角形全等的证明，才能解决待证或待求的问题例如图所示，求证解析和分别在与或与中，由已知条件不能直接推导它们全等，结合图形，连接，可证≌，得，再去证≌本章总结提升证明连接在和中，，≌，，即在和中，，≌全等三角形对应边相等本章总结提升点评当条件不足时，常常通过添加辅助线得出新的条件，进步完成问题的解答连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决，是数学常用的方法，它可使复杂问题简单化，并能够较清晰地找到边的关系针对训练本章总结提升如图所示，在四边形中平分求证证明在上截取，连接易证≌过点作⊥于点本章总结提升，又，≌，本章总结提升►类型之三利用角平分线的性质或判定证明有关结论思想方法角的平分线不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，以及到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，这些为我们证明线段或角相等提供了便利的方法例如图所示，已知，是的中点，平分求证平分解析作⊥，证≌本章总结提升证明过点作⊥于点平分，，是的中点，又，，≌，，即平分本章总结提升在和中，≌同理，点评作出点到角两边的距离，利用距离相等是解决这个问题的关键，因此当遇到角平分线的问题时，如果不能打开思路，不妨过角平分线上的点作出到角两边的垂线针对训练本章总结提升如图所示，已知求证证明，过点作⊥于点在和中，，≌，本章总结提升►类型之四运用三角形全等解决生活实际问题思想方法全等三角形广泛应用于现实生活中，为我们解决实际问题提供了有力的工具把实际问题转化为数学问题，抽象概括出基本的几何图形，并充分利用所学知识构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题本章总结提升例如图所示，要测量池宽，可从点出发在地面上画条线段，使⊥，再从点观测，在的延长线上测得点，使这时量得的的长度就是的长度请按图写出已知求证，并加以证明本章总结提升解已知在中，⊥，点在的延长线上，求证证明在和中，，≌，针对训练本章总结提升位经历过战争的老人讲述了这样个故事在次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，个战士想出来这样个办法他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部然后，他转过个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的点上接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离请解释其中的道理本章总结提升解画示意图如图，在和中，，≌，本章总结提升本章知识框架本章总结提升相等相等相等重合完全重合角的平分线整合拓展创新►类型之元二次方程及有关概念本章总结提升思想方法全等变换包括平移变换翻折变换和旋转变换三种方式全等变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质，所以利用全等变换是证明线段相等或角相等的基本方法，有时通过全等变换把已知的边或角与要证的边或角集中在个三角形中，便于解决问题本章总结提升例如图所示，⊥于点，且，求证将沿方向平移至下列情况，如图所示，这时还有吗为什么本章总结提升本章总结提升解析要证，只需证它们所在的和全等即可各图均由图变化而来，属于全等变换，证明方法都与相同解证明⊥，在与中，，≌本章总结提升如图，由平移变换知⊥，在和中，，≌，故在图中的结论仍然成立图中可类似地推证，的结论都成立点评注重基本图形的挖掘，平移变换中，线角的大小关系没有变化，证线段相等，关键还是证两线段所在的两个三角形全等针对训练本章总结提升如图所示，在有公共顶点的和中，且求证若将绕点沿逆时针方向旋转，当旋转到点在条直线上时，如图所示，问中的结论是否仍然成立如果成立，请证明如果不成立，请说明理由本章总结提升解析要证，只需证它们所在的和全等，结合已知条件易证由于旋转后和形状没有变化，而且和仍然相等，和全等，则结论仍成立本章总结提升解证明，，即在和中，，≌全等三角形对应边相等当旋转到点在条直线上时，中结论仍然成立证明同本章总结提升点评当完成本题后，可以利用旋转变换改变图形探究结论是否仍然成立，这有利于培养学生的创新精神和探究问题的能力本章总结提升►类型之二利用三角形全等证明有关结论思想方法全等三角形的对应边相等和对应角相等，所以在平面几何中，证明两线段相等两个角相等两条直线互相平行两条直线互相垂直等问题时，常常可以通过证明三角形全等来实现有时在整个证明过程中往往要完成多次三角形全等的证明，才能解决待证或待求的问题例如图所示，求证解析和分别在与或与中，由已知条件不能直接推导它们全等，结合图形，连接，可证≌，得，再去证≌本章总结提升证明连接在和中，，≌，，即在和中，，≌全等三角形对应边相等本章总结提升点评当条件不足时，常常通过添加辅助线得出新的条件，进步完成问题的解答连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决，是数学常用的方法，它可使复杂问题简单中，，≌全等三角形对应边相等当旋转到点在条直线上时，中结论仍然成立证明同本章总结提升点评当完成本题后，可以利用旋转变换改变图形探究结论是否仍然成立，这有利于培养学生的创新精神和探究问题的能力本章总结提升►类型之二利用三角形全等证明有关结论思想方法全等三角形的对应边相等和对应角相等，所以在平面几何中，证明两线段相等两个角相等两条直线互相平行两条直线互相垂直等问题时，常常可以通过证明三角形全等来实现有时在整个证明过程中往往要完成多次三角形全等的证明，才能解决待证或待求的问题例如图所示，求证解析和分别在与或与中，由已知条件不能直接推导它们全等，结合图形，连接，可证≌，得，再去证≌本章总结提升证明连接在和中，，≌，，即在和中，，≌全等三角形对应边相等本章总结提升点评当条件不足时，常常通过添加辅助线得出新的条件，进步完成问题的解答连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决，是数学常用的方法，它可使复杂问题简单化，并能够较清晰地找到边的关系针对训练本章总结提升如图所示，在四边形中平分求证证明在上截取，连接易证≌过点作⊥于点本章总结提升，又，≌，本章总结提升►类型之三利用角平分线的性质或判定证明有关结论思想方法角的平分线不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，以及到角两边距离相等的