,,所以故选合肥模拟如图,⊥☉所在平面,是☉的直径,是☉上除外的点,⊥,⊥,给出下列结论⊥⊥⊥⊥平面,其中真命题的序号是解析由题意知⊥,又⊥,所以⊥平面,故⊥又⊥,所以⊥平面,故⊥,又⊥,所以⊥平面,故⊥故真命题序号为答案考点突破剖典例找规律直线与平面垂直的判断与性质考点例如图所示,已知⊥矩形所在平面,分别是的中点求证⊥若,求证⊥平面证明连接,⊥平面,⊥在中,为的中点,⊥平面,⊥又⊥,∩,⊥平面,⊥从而在中,为斜边上的中线为等腰三角形又为底边的中点,⊥又,⊥连接,,⊥,四边形为矩形又为的中点而,≌,又为的中点,⊥由知,⊥,∩,⊥平面反思归纳解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图形中的些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的条与平面垂直,则另条也与这个平面垂直”利用“条直线垂直于两平行平面中的个,则与另个也垂直”利用面面垂直的性质即时训练高考山东卷如图,四棱锥中,⊥平面,,分别为线段,的中点求证平面求证⊥平面证明设∩,连接,由于为的中点,所以因此四边形为菱形,所以为的中点又为的中点,因此在中,可得又平面,⊄平面所以平面由题意知,所以四边形为平行四边形,因此又⊥平面,所以⊥,因此⊥因为四边形为菱形,所以⊥,又∩平面,所以⊥平面考点二面面垂直的判断与性质例高考北京卷如图,在四棱锥中,,⊥平面⊥底面,⊥,和分别为和的中点,求证⊥底面平面平面⊥平面证明因为平面⊥底面,且垂直于这两个平面的交线,所以⊥底面因为为的中点,所以,且所以为平行四边形所以又因为⊄平面,平面,所以平面因为⊥,而且四边形为平行四边形所以⊥,⊥,由知⊥底面所以⊥又∩,所以⊥平面所以⊥因为和分别是和的中点,所以所以⊥又∩,所以⊥平面又平面,所以平面⊥平面反思归纳判定面面垂直的方法面面垂直的定义作两平面构成二面角的平面角,计算其为面面垂直的判定定理⊥,⊥三种垂直关系的转化面面垂直性质的应用两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面即时训练如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,⊥分别是,的中点求证平面⊥平面求证平面证明在三棱柱中,⊥底面,所以⊥又因为⊥,又∩所以⊥平面,又平面所以平面⊥平面取的中点,连接,因为分别是的中点,所以,且,因为,且,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以又因为平面,⊄平面,所以平面线面角二面角的求法考点三例高考天津卷如图,在四棱锥中,⊥底面,⊥,,点为棱的中点证明⊥求直线与平面所成角的正弦值若为棱点,连接,则是梯形的中位线,所以且,在和中,所以,,所以,所以,所以⊥,因为∩,所以⊥平面解由知平面⊥平面,连接,在中作⊥,垂足为,则⊥平面,所以是与平面所成的角,由知,在中,所以,因为⊥平面,所以,,即与平面所成角的正弦值为证明线线垂直的方法定义两条直线所成的角为平面几何中证明线线垂直的方法线面垂直的性质⊥,⊂⇒⊥⊥,⇒⊥证明线面垂直的常用方法线面垂直的判定定理利用“,⊥⇒⊥”证明利用“,⊥⇒⊥”证明面面垂直的性质定理助学微博两个平面垂直的判定和性质判定面面垂直的方法面面垂直的定义作两平面构成二面角的平面角,计算其为面面垂直的判定定理⊥,⊂⇒⊥面面垂直的性质两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面思想方法融思想促迁移转化与化归思想在空间线面位置关系证明中的应用典例如图,在边长为的等边三角形中分别是,边上的点是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图所示的三棱锥,其中证明平面证明⊥平面当时,求三棱锥的体积证明在等边三角形中,,,如题图所示,⊄平面,平面同理可证平面∩,平面平面,平面证明在等边三角形中,是的中点,⊥,在题图中,,⊥∩,平面,平面,⊥平面解∶∶,在题图中,⊥,⊥,⊥平面,由知平面平面,⊥平面在等边三角形中,方法点睛线面面面位置关系的证明问题实质是线线线面面面位置关系的相互转化,交替使用平行垂直的判定定理和性质定理进行证明线线位置关系是基础,解题时注意平面几何中位置关系的转化,如中位线等腰三角形的中线平行线分线段成比例等数量关系与位置关系的转化,如通过计算得到线线垂直等即时训练北京昌平区模拟在四棱锥中,底面是正方形,与交于点,⊥底面,为的中点求证平面求证⊥若,在线段上是否存在点,使⊥平面若存在,求出的值,若不存在,请说明理由证明连接由四边形是正方形知,点为的中点又为的中点,所以又平面,⊄平面,所以平面证明由⊥底面,底面,所以⊥,由四边形是正方形可知,⊥,又∩平面,所以⊥平面,又平面,所以⊥解在线段上存在点,使⊥平面理由如下如图,取中点,连接在四棱锥中,所以⊥由可知,⊥平面,而平面,所以,平面⊥平面,且平面∩平面,因为⊥,平面,所以⊥平面故在线段上存在点,使⊥平面由为的中点,得第节直线平面垂直的判定与性质最新考纲以立体几何的定义公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理能运用公理定理和已获得的结论证明些空间垂直关系的简单命题编写意图直线与平面垂直平面与平面垂直的判定与性质是立体几何的基础,也是高考重点考查的内容之,难度不大本节重点突破了线面垂直面面垂直判定及性质定理的应用,以及线面角二面角传统的求解方法选题中图形样式丰富,注意了对翻折问题与探索问题的探讨,突出转化与化归思想的应用考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理直线与平面垂直直线和平面垂直的定义直线与平面内的直线都垂直,就说直线与平面互相任意条垂直直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理条直线与个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,⇒⊥性质定理垂直于同个平面的两条直线平行⇒直线与平面所成的角定义平面的条斜线和它在平面上的所成的,叫做这条直线和这个平面所成的角如图,就是斜线与平面所成的角射影锐角线面角的范围,二面角平面与平面垂直二面角二面角的定义从条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面如图,记作二面角或二面角或二面角二面角的平面角在二面角的棱上任取点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角平面与平面的垂直定义般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直直二面角平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理个平面过另个平面的垂线,则这两个平面垂直⇒⊥性质定理两个平面互相垂直,则个平面内垂直于交线的直线垂直于另个平面⇒⊥质疑探究若平面内的条直线垂直于平面内的无数条直线,则⊥吗提示不定,若这无数条直线都平行,则得不到内的这条直线垂直于,从而得不到⊥质疑探究若⊥,则内的任意直线都与垂直吗提示不定,平面内只有垂直于交线的直线才与垂直基础自测高考浙江卷设,是两条不同的直线是两个不同的平面若⊥,,则⊥若,⊥,则⊥若⊥,⊥,⊥,则⊥若⊥,⊥,⊥,则⊥解析选项中与平面可能平行相交或在平面内对于,若⊥,⊥,则,而⊥,所以⊥咸阳模拟设,是两个不同的平面,是条直线,给出下列说法若⊥,⊥,则⊂若,,则⊂若⊥,,则⊥若,⊥,则⊥其中说法正确的个数为解析对于,或对于,若⊥,,则⊥,正确对于,若,⊥,则或或⊥或与斜交,错误天津市新华中学质检设,是两条直线是两个平面,则⊥的个充分条件是⊥,,⊥⊥,⊥,⊂,⊥,⊂,,⊥解析若⊥,,所以⊥,又,所以⊥,即⊥在三棱柱中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面所成角的大小是解析如图所示,取的中点,连接,可知⊥侧面就是与侧面所成的角设各棱长为,则在中,,所以故选合肥模拟如图,⊥☉所在平面,是☉的直径,是☉上除外的点,⊥,⊥,给出下列结论⊥⊥⊥⊥平面,其中真命题的序号是解析由题意知⊥,又⊥,所以⊥平面,故⊥又⊥,所以⊥平面,故⊥,又⊥,所以⊥平面,故⊥故真命题序号为答案考点突破剖典例找规律直线与平面垂直的判断与性质考点例如图所示,已知⊥矩形所在平面,分别是的中点求证⊥若,求证⊥平面证明连接,⊥平面,⊥在中,为的中点,⊥平面,⊥又⊥,∩,⊥平面,⊥从而在中,为斜边上的中线为等腰三角形又为底边的中点,⊥又,⊥连接,,⊥,四边形为矩形又为的中点而,≌,又为的中点,⊥由知,⊥,∩,⊥平面反思归纳解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图形中的些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的条与平面垂直,则另条也与这个平面垂直”利用“条直线垂直于两平行平面中的个,则与另个也垂直”利用面面垂直的性质即时训练高考山东卷如图,四棱锥中,⊥平面,,分别为线段,的中点求证平面求证⊥平面证明设∩,连接,由于为的中点,所以因此四边形为菱形,所以为的中点又为的中点,因此在中,可得又,,所以故选合肥模拟如图,⊥☉所在平面,是☉的直径,是☉上除外的点,⊥,⊥,给出下列结论⊥⊥⊥⊥平面,其中真命题的序号是解析由题意知⊥,又⊥,所以⊥平面,故⊥又⊥,所以⊥平面,故⊥,又⊥,所以⊥平面,故⊥故真命题序号为答案考点突破剖典例找规律直线与平面垂直的判断与性质考点例如图所示,已知⊥矩形所在平面,分别是的中点求证⊥若,求证⊥平面证明连接,⊥平面,⊥在中,为的中点,⊥平面,⊥又⊥,∩,⊥平面,⊥从而在中,为斜边上的中线为等腰三角形又为底边的中点,⊥又,⊥连接,,⊥,四边形为矩形又为的中点而,≌,又为的中点,⊥由知,⊥,∩,⊥平面反思归纳解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图形中的些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的条与平面垂直,则另条也与这个平面垂直”利用“条直线垂直于两平行平面中的个,则与另个也垂直”利用面面垂直的性质即时训练高考山东卷如图,四棱锥中,⊥平面,,分别为线段,的中点求证平面求证⊥平面证明设∩,连接,由于为的中点,所以因此四边形为菱形,所以为的中点又为的中点,因此在中,可得又平面,⊄平面所