毕业论文_矩阵的秩及其应用

秩的概念及其等价描述秩的概念设在矩阵中有个不等于的阶子式，且所有存在的阶子式全等于零，则为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，。

零矩阵的秩规定为零。

本质上，矩阵的秩是矩阵中不等于零的子式的最高阶数。

即矩阵的秩就是就是中不等于零的子式的最高阶数。

矩阵的秩的概念还可以这样叙述矩阵的行列向量组的极大线性无关组的个数为该矩阵的秩。

设，即矩阵中至少有个阶子式不为零，那么该子式所在的个行列向量就是行列向量组的个极大无关组。

矩阵秩的等价描述设，则下述各命题等价湖北师范大学文理学院届学士学位论文中有个阶子式不为零，所有阶子式全为零中有个阶子式不为零，所有包含作为子式的阶子式全为零等价于标准型存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得的行向量组的秩等于的列向量组的秩等于的行空间的维数等于的列空间的维数等于方程组有个的方程，其余方程是这些方程的线性组合方程组的解空间的维数等于设为线性空间的个基为，，维线性空间的个基为，从到的线性映射的矩阵，既，则的像空间的维数等于存在型的列满秩阵和型的行满秩阵，使得。

证明易知。

因为，故可将经过系列的初等变换可化为，而这些列的初等变换等价于存在阶初等阵和阶初等阵，使得令，，由初等阵可逆知，可逆。

由，为可逆矩阵，使得，得，这相当于由经过系列的初等变换而得由于初等变换不改变矩阵的湖北师范大学文理学院届学士学位论文秩，所以。

设，为行向量由于，由命题知存在阶子式，且所有，既有所在的行线性无关，且任意个行向量都线性相关，因此所在的行是的行向量组的个极大无关组，从而的行向量组的秩为。

由的行向量组的秩为，根据向量组线性无关的条件知这个行向量所在的行的阶子式不为零，且所有阶子式都为零，故。

的证明和类似。

设的行向量组为，，由它们所生成的行空间为，显然行向量空间的维数与行向量组的秩相等。

的证明和类似。

矩阵的初等变换的过程实际上可以看做是解方程组的过程，等价性显然成立由的基础解系就是方程组的解空间的个基可知命题是成立的。

设的列向量组为，，则，线性方程组有解，，这里，表示，生成空间。

因此，，从而的维数与的，维数相等，而由知，的维数与相等，故命题成立。

由，，则的行向量组有个极大无关组，不妨设，，从而，湖北师范大学文理学院届学士学位论文。

令，。

显然为行满秩的矩阵。

下面证明为列满秩的矩阵，即证就可以了。

注意，由于，被，线性表出的系数是唯的，且，被，表出的系数恰苏芳，许湛，成礼智。

矩阵的秩在线性代数中的应用。

科技创新导报，。

兰德新，吴碧霞。

矩阵求秩方法的改进。

南平师专学报，。

湖北师范大学文理学院届学士学位论文致谢这次毕业论文能够得以顺利完成，并非我人之功劳，是所有指导过我的老师，帮助过我的同学和直关心支持着我的家人对我的教诲帮助和鼓励的结果。

我要在这里对他们表示深深的谢意，感谢我的指导老师刘伟明老师，没有您的悉心指导就没有这篇论文的顺利完成。

感谢班主任陈晨老师，四年的生活相处不久，却从您身上学到了太多，必将终身受益。

感谢所有教授过我课程的暨南大学的老师们，是你们诲人不倦才有了现在的我。

感谢我的父母，没有你们，就没有我的今天，你们的支持与鼓励，永远是支撑我前进的最大动力。

感谢我的室友，安农礼堂里挥汗如雨，湖畔闲庭信步，绿荫场上把酒言欢„„最难忘的记忆里都有你身影。

感谢起欢笑起惆怅的日子，不论何时，请不要忘记最初的梦想。

感谢馨悦，最黑暗的日子我们起走过，为了梦想，我们永不放弃，总有天，我们会在梦想的天堂再次相遇。

湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录论文选题指导学生怎样进行资料的收集，并要求学生尽可能结合自己所学专业以及自身情况来选择课题作为毕业论文的题目指导学生在收集资料的基础上，如何进行毕业论文的选题强调按照学校对毕业论文的具体要求，进行论文题目的选定。

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论文的提纲为摘要文章的中心思想二引言三矩阵初等变换及其应用四参考文献湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录检查初稿检查初稿，指出学生存在的问题有论文的内容较少摘要比较冗杂，并且英文摘要翻译有误不太像论文，所有的内容实际上可以合为两章矩阵特征值与特征向量性质定理以及矩阵特征值与特征向量的几种解法，广义特征值问题编号不正确，第章下的内容要用定义，定义等等湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录论文再次修改，任然存在部分问题英文摘要还要修改格式要求不对，参考格式要求，把文章顺好认真核对每个符号，不能有错将文章中的标点统，检查语句是否通顺合理参考文献格式不对。

湖北师范大学文理学院届学士学位论文本科毕业论文教师指导日志教师姓名刘伟明指导时间指导地点指导学生姓名周国梁指导内容记录论文定稿再指导学生对论文进行次修改的基础上，进行论文定稿，还需要做的是指导学生再仔细地检查遍论文，指出参考文献的顺序不是按照文中出现的顺序，需要改正由于很多改动，目录页中的页数也需要做改动。

编号研究类型理论研究分类号湖北师范大学文理学院学士学位论文论文题目矩阵的秩及其应用作者姓名周国梁指导老师刘伟明所在院系文理学院专业名称数学与应用数学完成时间年月日学士学位论文设计诚信承诺书中文题目矩阵的秩及其应用外文题目学生姓名周国梁学生学号院系专业文理学院数学与应用数学学生班级学生承诺我承诺在学士学位论文设计活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文设计内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃抄袭他人学术成果，伪造篡改实验数据的情况。

如有违规行为，我愿承担切责任，接受学校的处理。

学生签名年月日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文设计活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文设计内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃抄袭他人学术成果，伪造篡改实验数据的现象。

指导教师签名年月日矩阵的秩及其应用周国梁指导教师刘伟明湖北师范大学数学与统计学院中国黄石摘要矩阵的秩是线性代数中的个重要研究工具盒研究对象，以矩阵的秩作为主要的研究对象，分析了矩阵的秩再线性代数中的部分常见应用与方法，对于学习和掌握线性代数有定的帮助，进而加深对矩阵的秩的理解，能灵活运用解决相关问题通过分析初等变换求矩阵的秩利用初等变换求矩阵的秩与高斯消元法解线性方程组，向量组的线性表示，向量组的线性相关性的相通性原理，将初等变换求秩应用在以上方面，既解决了三个问题的求解判断，更将知识融会贯通，精密联系在起，为以后相关知识的学习奠定基础。

关键词矩阵的秩线性方程组线性相关。

中图分类号周国梁指导教师刘伟明湖北师范大学数学与统计学院中国黄石，目录引言秩的概念及其等价描述秩的概念矩阵秩的等价描述秩在线性代数中的应用在求解线性方程组中的应用在特征值中的应用在判别线性相关中的应用在判断二次型的正定中的作用参考文献湖北师范大学文理学院届学士学位论文矩阵的秩及其应用周国梁指导教师刘伟明湖北师范大学数学与统计学院中国黄石引言矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩即为研究问题的试金石。

矩阵的秩是矩阵的种重要属性，秩的理论决定着矩阵的地位。

其理论几乎贯穿整个线性代数，是讨论矩阵求逆问题线性方程组问题线性相关性问题的重要工具。

秩的概念及其等价描述秩的概念设在矩阵中有个不等于的阶子式，且所有存在的阶子式全等于零，则为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，。

零矩阵的秩规定为零。

本质上，矩阵的秩是矩阵中不等于零的子式的最高阶数。

即矩阵的秩就是就是中不等于零的子式的最高阶数。

矩阵的秩的概念还可以这样叙述矩阵的行列向量组的极大线性无关组的个数为该矩阵的秩。

设，即矩阵中至少有个阶子式不为零，那么该子式所在的个行列向量就是行列向量组的个极大无关组。

矩阵秩的等价描述设，则下述各命题等价湖北师范大学文理学院届学士学位论文中有个阶子式不为零，所有阶子式全为零中有个阶子式不为零，所有包含作为子式的阶子式全为零等价于标准型存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得的行向量组的秩等于的列向量组的秩等于的行空间的维数等于的列空间的维数等于方程组有个的方程，其余方程是这些方程的线性组合方程组的解空间的维数等于设为线性空间的个基为，，维线性空间的个基为，从到的线性映射的矩阵，既，则的像空间的维数等于存在型的列满秩阵和型的行满秩阵，使得。

证明易知。

因为，故可将经过系列的初等变换可化为，而这些列的初等变换等价于存在阶初等阵和阶初等阵，使得令，，由初等阵可逆知，可逆。

由，为可逆矩阵，使得，得，这相当于由经过系列的初等变换而得由于初等变换不改变矩阵的湖北师范大学文理学院届学士学位论文秩，所以。

设，为行向量由于