，与平面成的角求证平面求证平面⊥平面考点利用空间向量证明平行垂直师生共研型思路点拨建立空间直角坐标系，方法证明与平面的法向量垂直方法二证明与平面内两条不共线直线共面取的中点，利用向量证明⊥平面即可证明以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系⊥平面，为与平面所成的角，，解法令为平面的个法向量，则，即令，得，⊥，又⊄平面，平面解法二令，则，解得，由共面向量定理，知与，共面，又⊄平面，平面取的中点，则⊥又，⊥，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为证明直线与直线垂直名师归纳类题练熟如图所示，已知直三棱柱中，为等腰三角形，，且，分别为的中点求证平面⊥平面好题研习证明如图建立空间直角坐标系，令，则取中点为，则，又，又在平面内，故平面则⊥，⊥，⊥，即⊥又∩，⊥平面考点二利用空间向量求线线角和线面角师生共研型调研陕西四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点证明四边形是矩形求直线与平面夹角的正弦值解析证明由该四面体的三视图，可知⊥，⊥，⊥由题设，平面，平面∩平面，平面∩平面，，，同理，，，四边形是平行四边形又⊥，⊥，⊥平面⊥，⊥，四边形是矩形解法如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则设平面的法向量，，，得取解法二如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则是的中点分别为，的中点，得设平面的法向量，则，得取名师归纳类题练熟利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同同时注意根据异面直线所成的角的范围，得出结论利用向量法求线面角的方法分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角或其补角临沂模在三棱柱中，四边形为菱形，为的中点求证⊥求直线与平面所成角的正弦值好题研习解证明四边形为菱形，又，，即⊥连接，，在中，由，得，⊥∩，⊥平面证明因为四边形是等腰梯形，且，所以，又由是的中点，因此且分连接，在四棱柱中，因为可得所以四边形为平行四边形，因此又⊄平面，⊂平面，所以平面分解法连接由，知且所以四边形为平行四边形可得由题意，，所以为正三角形，因此因此⊥分以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系所以，因此，所以，分设平面的法向量由，得可得平面的个法向量分又为平面的个法向量，因此所以平面和平面所成的角锐角的余弦值为分由⊥平面，可得⊥，因此为二面角的平面角分在中，可得所以分在中，所以平面和平面所成的角锐角的余弦值为分解法二由，知平面∩平面，过向引垂线交于，连接分答题模板利用向量求空间角的步骤第步建立空间直角坐标系第二步确定点的坐标第三步求向量直线的方向向量平面的法向量坐标第四步计算向量的夹角或函数值第五步将向量夹角转化为所求的空间角第六步反思回顾，查看关键点易错点和答题规范温馨提醒利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错跟踪训练潍坊模拟直三棱柱中，⊥，与交于点，延长到点，使得，连接得到如图所示的几何体若，求证平面若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值解证明取的中点，连接则又四边形为平行四边形，⊄平面，⊂平面，平面解由题意，知⊥，⊥，⊥平面，⊥平面，连接，则为直线与平面所成的角，在中，以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面的法向量，则即取，则在平面内取平面的个法向量，则，取，则由图可知二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为名师指导必明个易误点求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为，求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时，由图形知二面角是钝角时当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等个平面的法向量指向二面角的内部，另个平面的法向量指向二面角的外部还是互补两个法向量同时指向二面角的内部或外部，这是利用向量求二面角的难点易错点必会种方法求两异面直线，的夹角，须求出它们的方向向量，的夹角，则，求直线与平面所成的角可先求出平面的法向量与直线的方向向量的夹角，则，求二面角的大小，可先求出两个平面的法向量，所成的角，则，或，第七章立体几何第七节立体几何中的向量方法考情展望考查利用空间向量判断证明空间中的线面位置关系考查利用向量求空间角的大小以解答题为主要考查形式主干回顾基础通关固本源练基础理清教材平行垂直基础梳理直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量定义向量所在直线与，则叫做的方向向量确定通常在直线上任取两点构成的向量平面的法向量定义与平面的向量，称做平面的法向量确定设是平面的法向量，在平面内找两个不共线向量由方程组来确定空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线，的方向向量分别是，⇔⊥⊥⇔直线的方向向量为，平面的法向量为⊥⇔⊥⇔平面，的法向量分别为，⇔⊥⊥⇔空间角的向量求法异面直线所成角的求法设，分别是两异面直线，的方向向量与所成的角范围求法，直线和平面所成角的求法如图所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有直线与平面所成角的范围为，二面角的求法如图是二面角的两个半平面内与棱垂直的直线，则二面角的大小，如图，图分别是二面角的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足或用向量法求空间距离求点到平面的距离如图所示，已知点，平面内点，平面的个法向量，直线与平面所成的角为，则，由数量积的定义，知，点到平面的距离求直线到平面的距离如图所示，设直线平面，，，是平面的法向量，过作⊥，垂足为，则，直线到平面的距离求两平行平面间的距离用公式，求为两平行平面的个法向量分别为两平面上的任意两点，如图转化为点面距或线面距求解基础训练答案判断正误，正确的打，错误的打“”如果平面的条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是那么，这条斜线与平面所成的角是已知两平面的法向量分别为则两平面所成的二面角的大小为已知向量，分别是直线和平面的方向向量法向量，若则与所成的角为求点到平面的距离时，先在平面上找点，然后求向量在平面的法向量方向上投影的绝对值已知平面，的法向量分别为，ν，则⊥，相交但不垂直以上都不正确解析由于不平行于ν，故，不平行又因为ν，故不垂直于，故选若，则直线与平面的位置关系是相交平行在平面内平行或在平面内解析因为，故与，是共面向量，因此与平面或者平行，或者在平面内，选长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为答案解析建立空间直角坐标系，如图，则，上海普陀区模正四棱锥中，为顶点在底面上的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是答案解析如图，以为原点建立空间直角坐标系设，则，则，,设平面的法向量为，可求得，则，直线与平面所成的角为试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克调研如图所示，在四棱锥中，⊥平面在四边形中，，点在上与平面成的角求证平面求证平面⊥平面考点利用空间向量证明平行垂直师生共研型思路点拨建立空间直角坐标系，方法证明与平面的法向量垂直方法二证明与平面内两条不共线直线共面取的中点，利用向量证明⊥平面即可证明以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系⊥平面，为与平面所成的角，，解法令为平面的个法向量，则，即令，得，⊥，又⊄平面，平面解法二令，则，解得，由共面向量定理，知与，共面，又⊄平面，平面取的中点，则⊥又，⊥，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为证明直线与直线垂直名师归纳类题练熟如图所示，已知直三棱柱中，为等腰三角形，，且，分别为的中点求证平面⊥平面好题研习证明如图建立空间直角坐标系，令，则取中点为，则，又，又在平面内，故平面则⊥，⊥，⊥，即⊥又∩，⊥平面考点二利用空间向量求线线角和线面角师生共研型调研陕西四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点证明四边形是矩形求直线与平面夹角的正弦值解析证明由该四面体的三视图，可知⊥，⊥，⊥由题设，平面，平面∩平面，平面∩平面，，，同理，，，四边形是平行四边形又⊥，⊥，⊥平面⊥，⊥，四边形是矩形解法，与平面成的角求证平面求证平面⊥平面考点利用空间向量证明平行垂直师生共研型思路点拨建立空间直角坐标系，方法证明与平面的法向量垂直方法二证明与平面内两条不共线直线共面取的中点，利用向量证明⊥平面即可证明以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系⊥平面，为与平面所成的角，，解法令为平面的个法向量，则，即令，得，⊥，又⊄平面，平面解法二令，则，解得，由共面向量定理，知与，共面，又⊄平面，平面取的中点，则⊥又，⊥，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为证明直线与直线垂直名师归纳类题练熟如图所示，已知直三棱柱中，为等腰三角形，，且，分别为的中点求证平面⊥平面好题研习证明如图建立空间直角坐标系，令，则取中点为，则，又，又在平面内，故平面则⊥，⊥，⊥，即⊥又∩，⊥平面考点二利用空间向量求线线角和线面角师生共研型调研陕西四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点证明四边形是矩形求直线与平面夹角的正弦值解析证明由该四面体的三视图，可知⊥，⊥，⊥由题设，平面，平面∩平面，平面∩平面，，，同理，，，四边形是平行四边形又⊥，⊥，⊥平面