时，在，和，上均为增函数二次函数当时，在，上是减函数，在，上是增函数当时，在，上是增函数，在，上是减函数判断函数单调性的常用方法定义法这是证明或判断函数单调性的常用方法图象法根据函数图象的升降情况进行判断在解答选择题或填空题时，也可用以下结论函数与单调性相反若函数恒正或恒负时，函数与单调性相反在公共定义域内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数课堂互动探究剖析归纳触类旁通函数单调性的判定或证明例证明在,上是减函数典例剖析证明设，且，则，即在,上为减函数规律技巧在用定义判断或证明函数的单调性时，其方法步骤是在定义域区间内任取两个值不妨设作差，变形配方因式分解或通分等确定符号，当符号不易确定时，要分情况讨论写出结论变式训练判断函数在，上的单调性解设，，，且，即在，上是增函数利用函数的图象求单调区间二例画出函数的图象，并写出函数的单调区间分析先化简函数解析式，再画出函数的图象，根据图象确定单调区间解，函数图象如图所示函数在,上是增函数，函数在，上是减函数函数的单调增区间是，和单调减区间是,和，误区警示个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用符号“”连接，义法这是证明或判断函数单调性的常用方法图象法根据函数图象的升降情况进行判断在解答选择题或填空题时，也可用以下结论函数与单调性相反若函数恒正或恒负时，函数与单调性相反在公共定义域内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数课堂互动探究剖析归纳触类旁通函数单调性的判定或证明例证明在,上是减函数典例剖析证明设，且，则，即在,上为减函数规律技巧在用定义判断或证明函数的单调性时，其方法步骤是在定义域区间内任取两个值不妨设作差，变形配方因式分解或通分等确定符号，当符号不易确定时，要分情况讨论写出结论变式训练判断函数在，上的单调性解设，，，且，即在，上是增函数利用函数的图象求单调区间二例画出函数的图象，并写出函数的单调区间分析先化简函数解析式，再画出函数的图象，根据图象确定单调区间解，函数图象如图所示函数在,上是增函数，函数在，上是减函数函数的单调增区间是，和单调减区间是,和，误区警示个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用符号“”连接，而应该用“和”来连接在定义域内求单调区间，单调区间应是定义域的子集变式训练已知函数，求的单调区间解，如下图所示由图象可知，的递增区间为，，减区间为，函数单调性的应用三例已知函数，在下列条件下，分别求实数的取值范围在区间，上是减函数的增区间为，分析函数是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，在对称轴左侧为减函数，在对称轴右侧是增函数，因此本题找出对称轴，便可作答解，二次函数图象的对称轴为，要使在，上是减函数，只要，要使的增区间为，，只有对称轴，规律技巧注意本题与的不同之处，只要对称轴在的右侧或与其重合，而中对称轴必须与重合对于此类题目，可以画图分析作答变式训练若函数在，上是减函数，则实数的取值范围是解析函数的图象是开口向上的抛物线，要使在，上是减函数，只要对称轴答案易错探究例设，都是函数的单调增区间，且不能确定错解错因分析函数在，和，上都是增函数，但在，，上不定是增函数，如图所示因为，取自两个不同的单调区间，所以与大小不能确定正解当堂检测下列四个函数中，在，上为增函数的是解析函数在，上为减函数函数在，上为减函数，在，上为增函数函数在，上为增函数，在，上为减函数函数在，上为增函数，在，上为增函数答案已知函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，则等于解析由题意知函数的对称轴为由，得，即所以答案若函数是，上的减函数，则实数的取值范围是，，解析由时，是减函数，得，由时，函数是减函数，得，分段点处的值应满足，解得答案是定义在，上的减函数，则不等式的解集是解析由在，上为减函数且有，整理得，解得所以不等式的解集为答案判断函数在区间,上的单调性解设，，当时，函数在,上是减函数当时，函数在,上是增函数第章集合与函数概念函数的基本性质单调性与最大小值第课时函数的单调性课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础学习目标理解单调函数的定义，理解增函数减函数的定义掌握定义法证明函数单调性的步骤掌握求函数单调区间的方法定义法图象法课前热身般地，设函数的定义域为如果对于定义域内个区间上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说函数在区间上是当时，都有，那么就说在区间上是减函数其中区间称为的自我校对单调区间思考探究在增函数和减函数定义中，能否把“任意，”改为“存在，”提示不能如函数，虽然，但函数在定义域上不是增函数名师点拨单调性定义函数的单调性是对于函数定义域内的个子集而言的，有些函数在整个定义域内可能是单调的，如次函数有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另部分区间上可能是减函数，如二次函数还有的函数是非单调的，如函数若个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则这个函数在定义域内不存在单调性函数单调性定义中的有三个特征，是同属个单调区间二是任意性，即“任意取，”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换三是有大小，通常规定三者缺不可函数单调性可以从三个方面理解图形刻画对于给定区间上的函数，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，如下图函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减，如下图定性刻画对于给定区间上的函数，如果函数值随自变量增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如果函数值随自变量增大而减小，则称函数在该区间上单调递减定量刻画，即定义上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径基本初等函数的单调性次函数当时，在，上是增函数，当时，在，和，上均为减函数当时，在，和，上均为增函数二次函数当时，在，上是减函数，在，上是增函数当时，在，上是增函数，在，上是减函数判断函数单调性的常用方法定义法这是证明或判断函数单调性的常用方法图象法根据函数图象的升降情况进行判断在解答选择题或填空题时，也可用以下结论函数与单调性相反若函数恒正或恒负时，函数与单调性相反在公共定义域内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数课堂互动探究剖析归纳触类旁通函数单调性的判定或证明例证明在,上是减函数典例剖析证明设，且，则，即在,上为减函数规律技巧在用定义判断或证明函数的单调性时，其方法步骤是在定义域区间内任取两个值不妨设作差，变形配方因式分解或通分等确定符号，当符号不易确定时，要分情况讨论写出结论变式训练判断函数在，上的单调性解设，，，且，即在，上是增函数利用函数的图象求单调区间二例画出函数时，在，和，上均为增函数二次函数当时，在，上是减函数，在，上是增函数当时，在，上是增函数，在，上是减函数判断函数单调性的常用方法定义法这是证明或判断函数单调性的常用方法图象法根据函数图象的升降情况进行判断在解答选择题或填空题时，也可用以下结论函数与单调性相反若函数恒正或恒负时，函数与单调性相反在公共定义域内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数课堂互动探究剖析归纳触类旁通函数单调性的判定或证明例证明在,上是减函数典例剖析证明设，且，则，即在,上为减函数规律技巧在用定义判断或证明函数的单调性时，其方法步骤是在定义域区间内任取两个值不妨设作差，变形配方因式分解或通分等确定符号，当符号不易确定时，要分情况讨论写出结论变式训练判断函数在，上的单调性解设，，，且，即在，上是增函数利用函数的图象求单调区间二例画出函数的图象，并写出函数的单调区间分析先化简函数解析式，再画出函数的图象，根据图象确定单调区间解，函数图象如图所示函数在,上是增函数，函数在，上是减函数函数的单调增区间是，和单调减区间是,和，误区警示个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用符号“”连接，