“取到玻璃球”为事件，则已知取到球为玻璃球，它是蓝球概率就是发生条件下发生条件概率，记作因为所以答案考点二相互事件概率例湖南卷企业有甲乙两个研发小组，他们研发新产品成功概率分别为和现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品设甲乙两组研发相互求至少有种新产品研发成功概率若新产品研发成功，预计企业可获利润万元若新产品研发成功，预计企业可获利润万元求该企业可获利润分布列和数学期望听课记录记甲组研发新产品成功，乙组研发新产品成功由题设知且事件与，与，与，与都相互记至少有种新产品研发成功，则，于是故所求概率为设企业可获利润为万元，则可能取值为,因，故所求分布列为数学期望为规律方法解答本题关键是把所求事件包含各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件和事件求相互事件同时发生概率方法主要有利用相互事件概率乘法公式直接求解正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算变式思考高新生军训时，经过两天打靶训练，甲每射击次可以击中次，乙每射击次可以击中次甲乙两人射击同目标甲乙两人互不影响，现各射击次，目标被击中概率为次知识竞赛规则如下在主办方预设个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下轮假设选手正确回答每个问题概率都是，且每个问题回答结果相互，则该选手恰好回答了个问题就晋级下轮概率等于解析目标被击中对立事件为两人都击不中，而两人都击不中概率为，所以所求事件概率为依题意，该选手第个问题回答错误，第第个问题均回答正确，第个问题回答正确与否均有可能，由相互事件概率乘法，所求概率答案考点三重复试验与二项分布例种有奖销售饮料，瓶盖内印有“奖励瓶”或“谢谢购买”字样，购买瓶若其瓶盖内印有“奖励瓶”字样即为中奖，中奖概率为甲乙丙三位同学每人购买了瓶该饮料求甲中奖且乙丙都没有中奖概率求中奖人数分布列听课记录设甲乙丙中奖事件分别为，且相互，那么相互又，，即甲中奖且乙丙都没有中奖概率为可能取值为且,则所以中奖人数分布列为规律方法二项分布满足条件每次试验中，事件发生概率是相同各次试验中事件是相互每次试验只有两种结果事件要么发生，要么不发生随机变量是这次重复试验中事件发生次数变式思考地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员再就业能力，每名下岗人员可以选择参加项培训参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训有，参加过计算机培训有，假设每个人对培训项目选择是相互，且各人选择相互之间没有影响任选名下岗人员，求该人参加过培训概率任选名下岗人员，记为人中参加过培训人数，求分布列解任选名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与互相，且，所以，该下岗人员没有参加过培训概率是该人参加过培训概率为因为每个人选择是相互，所以人中参加过培训人数服从二项分布，分布列是拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高易错警示系列之十四混淆二项分布和重复试验而致误典例名学生每天骑车上学，从他家到学校途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯事件是相互，并且概率都是设为这名学生在途中遇到红灯次数，求分布列设为这名学生在首次停车前经过路口数，求分布列易错警示由于这名学生在各个交通岗遇到红灯事件相互，可以利用二项分布解决，二项分布模型建立是易错点另外，对“首次停车前经过路口数”理解不当，将“没有遇上红灯概率也当成”规范解答将通过每个交通岗看做次试验，则遇到红灯概率为，且每次试验结果是相互故，所以分布列为,由于表示这名学生在首次停车时经过路口数，显然是随机变量，其取值为其中,表示前事件表示为几个事件和事件求相互事件同时发生概率方法主要有利用相互事件概率乘法公式直接求解正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算变式思考高新生军训时，经过两天打靶训练，甲每射击次可以击中次，乙每射击次可以击中次甲乙两人射击同目标甲乙两人互不影响，现各射击次，目标被击中概率为次知识竞赛规则如下在主办方预设个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下轮假设选手正确回答每个问题概率都是，且每个问题回答结果相互，则该选手恰好回答了个问题就晋级下轮概率等于解析目标被击中对立事件为两人都击不中，而两人都击不中概率为，所以所求事件概率为依题意，该选手第个问题回答错误，第第个问题均回答正确，第个问题回答正确与否均有可能，由相互事件概率乘法，所求概率答案考点三重复试验与二项分布例种有奖销售饮料，瓶盖内印有“奖励瓶”或“谢谢购买”字样，购买瓶若其瓶盖内印有“奖励瓶”字样即为中奖，中奖概率为甲乙丙三位同学每人购买了瓶该饮料求甲中奖且乙丙都没有中奖概率求中奖人数分布列听课记录设甲乙丙中奖事件分别为，且相互，那么相互又，，即甲中奖且乙丙都没有中奖概率为可能取值为且,则所以中奖人数分布列为规律方法二项分布满足条件每次试验中，事件发生概率是相同各次试验中事件是相互每次试验只有两种结果事件要么发生，要么不发生随机变量是这次重复试验中事件发生次数变式思考地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员再就业能力，每名下岗人员可以选择参加项培训参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训有，参加过计算机培训有，假设每个人对培训项目选择是相互，且各人选择相互之间没有影响任选名下岗人员，求该人参加过培训概率任选名下岗人员，记为人中参加过培训人数，求分布列解任选名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与互相，且，所以，该下岗人员没有参加过培训概率是该人参加过培训概率为因为每个人选择是相互，所以人中参加过培训人数服从二项分布，分布列是拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高易错警示系列之十四混淆二项分布和重复试验而致误典例名学生每天骑车上学，从他家到学校途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯事件是相互，并且概率都是设为这名学生在途中遇到红灯次数，求分布列设为这名学生在首次停车前经过路口数，求分布列易错警示由于这名学生在各个交通岗遇到红灯事件相互，可以利用二项分布解决，二项分布模型建立是易错点另外，对“首次停车前经过路口数”理解不当，将“没有遇上红灯概率也当成”规范解答将通过每个交通岗看做次试验，则遇到红灯概率为，且每次试验结果是相互故，所以分布列为,由于表示这名学生在首次停车时经过路口数，显然是随机变量，其取值为其中,表示前个路口没有遇上红灯，但在第个路口遇上红灯，故各概率应按事件同时发生计算而表示路没有遇上红灯，故其概率为，因此分布列为名师点评重复试验中概率公式表示是次重复试验中事件发生次概率，与位置不能互换，否则该式子表示意义就发生了改变，变为事件有次不发生概率了对应训练现有道题，其中道甲类题，道乙类题，张同学从中任取道题解答求张同学至少取到道乙类题概率已知所取道题中有道甲类题，道乙类题设张同学答对每道甲类题概率都是，答对每道乙类题概率都是，且各题答对与否相互用表示张同学答对题个数，求分布列和数学期望解设事件“张同学所取道题至少有道乙类题”，则有“张同学所取道题都是甲类题”因为，所以所有可能取值为,所以分布列为所以第十章计数原理概率随机变量及其分布理概率文第八节二项分布及其应用理基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向了解条件概率和两个事件相互概念理解次重复试验模型及二项分布能解决些简单实际问题备考知考情从近年高考试题来看，相互事件概率次重复试验概率是考查热点，各种题型都有，通常以解答题形式考查二项分布概念特征以及相关计算是高考对本节内容常规考法条件概率在高考试题中偶尔出现，但也有加强考查趋势理教材夯基础厚积薄发基础回扣自主学习知识梳理知识点条件概率及其性质知识点二事件相互性设为两个事件，如果，则称事件与事件相互如果事件与相互，那么与，与，与也都相互知识点三重复试验与二项分布重复试验在条件下重复做次试验称为次重复试验二项分布相同在次重复试验中，设事件发生次数为，在每次试验中事件发生概率为，那么在次重复试验中，事件恰好发生次概率为，„，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率，对点自测知识点条件概率及其性质已知那么等于解析因为所以根据条件概率公式可得答案把枚硬币连续抛两次，记“第次出现正面”为事件，“第二次出现正面”为事件，则等于解析答案知识点二事件相互性射手对同目标地进行四次射击，已知至少命中次概率为，则此射手命中率为解析设此射手射击目标命中概率为，由已知，解得答案有道数学难题，在半小时内，甲能解决概率是，乙能解决概率为，两人试图地在半小时内解决它则两人都未解决概率为，问题得到解决概率为解析设“半小时内甲解决该问题”为事件，“半小时内乙解决该问题”为事件，那么两人都未解决该问题就是事件，问题得到解决是问题没得到解决对立事件，答案知识点三重复试验与二项分布小王通过英语听力测试概率是，他连续测试次，那么其中恰有次通过概率是解析所求概率答案设随机变量随机变量若，则解析，解得又答案研考点知规律通法悟道热点命题深度剖析问题探究问题怎样区分条件概率与概率它们都以样本空间为总样本，同样样本空间划分，但它们取概率前提是不相同概率是指在整个样本空间条件下事件发生可能性大小，而条件概率是在事件发生条件下，事件发生可能性大小当事件设成样本空间时，问题如何正确区分“相互”与“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互是指个事件发生与否对另个事物发生概率没有影响，两个事件相互不定互斥问题如何判断个随机变量是否服从二项分布判断个随机变量是否服从二项分布，要看两点是是否为次重复试验在每次试验中事件发生概率是否均为二是随机变量是否为在这次重复试验中事件发生次数且表示在重复试验中，事件恰好发生次概率高频考点考点条件概率例新课标全国卷Ⅱ地区空气质量监测资料表明，天空气质量为优良概率是，连续两天为优良概率是，已知天空气质量为优良，则随后天空气质量为优良概率是听课记录设天空气质量为优良为事件，随后天空气质量为优良为事件，由已知得所求事件概率为，故选答案规律方法计算条件概率方法般有下面两种利用定义计算，先分别计算概率和，然后代入公式利用缩小样本空间计算局限在古典概型内，即将原来样本空间缩小为已知事件，原来事件缩小为，利用古典概型计算概率变式思考从中任取个不同数，事件“取到个数之和为偶数”，