四种命题间的相互关系问题引航四种命题的相互关系是什么你会用图示表示它们之间的关系吗四种命题的真假情况有几种你会列表表示吗四种命题的相互关系﹁﹁﹁﹁四种命题的真假关系般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真假真假假假真真假真假真假假四种命题的真假性之间的关系两个命题互为,它们有相同的真假性两个命题为或,其真假性没有关系逆否命题互逆命题互否命题判判正确的打,错误的打“”两个互逆命题的真假性相同若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同对于个命题的四种命题,可以个真命题也没有解析错误两个互逆命题的真假性没有关系错误两个命题为互否命题,它们的真假性没有关系,但也可能相同,故此说法错误正确个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若,此命题的四种命题均为假命题答案做做请把正确的答案写在横线上命题“若,则”的否命题是填“真”或“假”命题若命题的逆否命题是真命题,则命题是命题填“真”或“假”命题“若,则”的逆否命题为,其真假情况为填“真命题”或“假命题”解析由于否命题是“若,则”,是假命题答案假由于原命题与其逆否命题等价,故命题是真命题答案真逆否命题为若,则,由于原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题答案若则假命题要点探究知识点四种命题间的关系对四种命题相互关系的三点认识四种命题中原命题具有相对性,任意确定个为原命题,其逆命题否命题逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性在原命题逆命题否命题与逆否命题这四种命题中,有两对互逆命题,两对互否命题,两对互为逆否命题它们分别为两对互逆命题原命题与逆命题,否命题与逆否命题两对互否命题原命题与否命题,逆命题与逆否命题两对互逆否命题原命题与逆否命题,逆命题与否命题由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此当直接证明原命题困难时,可以转化证明其逆否命题知识拓展等价命题的证法与反证法在解答命题的过程中,注意借助逆否命题证明真命题与利用反证法证明真命题有本质区别,运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化,而反证法是先假设结论不成立,接着推出矛盾,从而得出假设不成立微思考在四种命题中,它们的真假性有什么关系提示互为逆否的两个命题具有相同的真假性,互逆或互否的两个命题的真假性没有必然的联系原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同吗提示相同因为原命题的逆命题与否命题互为逆否命题即时练原命题逆命题否命题和逆否命题中,真命题的个数是个解析因为原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,因此真命题的个数为个或个或个答案或或题型示范类型四种命题的相互关系典例若命题的逆命题为,命题的否命题为,则是的逆命题否命题逆否命题以上判断都不对命题“若不正确,则不正确”的逆命题的等价命题是若不正确,则不正确若不正确,则正确若正确,则不正确若正确,则正确解题探究题中命题的条件与结论与命题的条件与结论有什么关系题中原命题的逆命题是什么逆命题的等价命题是什么探究提示命题的条件与结论分别是命题的结论的否定与条件的否定原命题的逆命题是“若不正确,则不正确”,逆命题的等价命题是“若正确,则正确”自主解答选因为命题与的条件与结论交换,命题的条件与结论分别是的条件与结论的否定所以与的条件与结论既交换又否定,故选选原命题的逆命题是“若不正确,则不正确”因此逆命题的等价命题为“若正确,则正确”延伸探究题中“逆命题的等价命题”若换为“否命题的等价命题”,其结果又如何呢解析选原命题的否命题为“若正确,则正确”,其等价命题为“若不正确,则不正确”方法技巧判断四种命题之间四种关系的两种方法方法利用四种命题的定义判断方法二可以巧用“逆否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆否”二字,其关系为逆否关系变式训练陕西高考原命题为“若,,则为递减数列”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是真,真,真假,假,真真,真,假假,假,假解题指南因为原命题和其逆否命题同真假,逆命题和否命题同真假,所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可解析选由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选补偿训练若命题的否命题是,命题的逆命题是,则是的命题解析设命题“若,则”,因为的否命题是,则“若不是,则不是”,又因为的逆命题是,则“若不是,则不是”,显然命题与的条件和结论交换位置且同时否定,所以互为逆否命题答案逆否类型二等价命题的应用典例命题“已知,为实数,若关于的不等式的解集为空集,则”的逆否命题是命题填“真”或“假”证明如果,则解题探究题中解集为空集的含义是什么需要具备哪些条件题中命题的逆否命题是什么探究提示题中不等式的解集为空集,即此不等式无解,需要相应的则自主解答先判断原命题的真假因为关于的不等式的解集为空集,所以相应二次方程的判别式,所以所以原命题为真命题又因为原命题和它的逆否命题是等价命题所以此命题的逆否命题为真命题答案真该命题的逆否命题为若,则因为,所以,所以即时,成立所以如果,则成立延伸探究在题中,写出命题的逆命题,并判断其真假解析逆命题已知,为实数,若,则关于的不等式的解集为空集,由题可知所以当时解集不为空集当时,解集为空集所以不等式的解集为空集是假命题,故逆命题是假命题方法技巧“正难则反”的处理原则当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假在证明个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真假命题,来间接地证明原命题为真假命题变式训练证明已知函数是,上的增函数,若,则解题指南由于原命题不易证明,可转化为证明其逆否命题为真命题证明原命题的逆否命题为“已知函数是,上的增函数,若,则”若,则,又因为在,上是增函数,所以所以,即逆否命题为真命题所以原命题为真命题补偿训练已知全集的两个子集命题“若∉,则∉”是真命题,则下列结论正确的是∩∅解析选“若∉,则∉”等价于“若,则”为真命题,即⊆故规范解答由等价命题求参数的取值范围典例分临沂高二检测命题对任意不成立是真命题,求实数的取值范围审题抓信息,找思路解题明步骤,得高分点题警误区,促提升失分点解题时若在处对原命题的等价命题写错,则会导致本例不得分失分点本例若对不等式考虑不全面,即忽略处对参数的讨论,漏掉解,则本例最多得分失分点若解题步骤不规范,漏掉处最后的归纳,则本例最多得分悟题提措施,导方向转化思想的应用在解决原命题遇到困难时,可转化为其等价命题解决,如本例中的不成立问题可转化为恒成立问题解决分类讨论意识在解决含参数的问题时,切记分类讨论思想的应用,如本例对二次项系数的讨论类题试解已知命题“对于任意不成立”是真命题,求实数的取值范围解析命题“对于任意不成立”等价于“对于任意,成立”是真命题由于函数是开口向上的抛物线,由二次函数的图象易知,解得所以实数的取值范围是,