点的三个坐标中，存在的差值正好是的共有类，即与轴差值正好是，与轴差值正好是，与轴差值正好是，与，轴差值都是，与，轴差值都是，与，轴差值都是，与轴差值都是对于剩下的个点，若存在点不满足这种情况，那么点与这个点相连的线段内必有个坐标为整数的内点若剩下的个点都属于这种情况之，那么，运用鸽巢原理，则至少存在两个点属于这种情况中的同个情况，那么，这两点中必存在个坐标为整数的内点例把从到的个整数任意分为个部分，试证其中有部分至少有个数是两个数之和，或是另个数的两倍解用反证法假设存在划分，，中没有数是两个数之和，即中没有数是两个数之差根据鸽巢原理推论设到中至少有个元素属于，并设为，不妨设若中存在个元素是两个元素必存在个坐标为整数的内点例把从到的个整数任意分为个部分，试证其中有部分至少有个数是两个数之和，或是另个数的两倍解用反证法假设存在划分，，中没有下的个点，若存在点不满足这种情况，那么点与这个点相连的线段内必有个坐标为整数的内点若剩下的个点都属于这种情况之，那么，运用鸽巢原理，则至少存在两个点属于这种情况中的同个情况，那么，这两点中出点，与这个点的三个坐标中，存在的差值正好是的共有类，即与轴差值正好是，与轴差值正好是，与轴差值正好是，与，轴差值都是，与，轴差值都是，与，轴差值都是，与轴差值都是对于剩个坐标为整数的内点解三维空间中，任意两坐标为整数的点，若这两点相连的线段内不存在坐标为整数的内点，则对于这三个坐标轴，这两点至少在个坐标上的差值正好是那么，在这个坐标为整数的点中，任意取而每横行共有七个元素再根据鸽巢原理，必有两列是相同的即之必然成立例三维空间中个坐标为整数的点，试证在两两相连的线段内，至少存在，解由已知条件，在每个纵列中，含有三个元素，分别都只由两种选择，即或，则根据鸽巢原理，中至少个必然成立成立的时候取值的不同可以有种情况，，离散数学中的应用例设有个位的二进制数试证存在整数和，，使得下列之必然成立自集合中是互不相同的，假定两个数同时取自„也就是在这个数当中有两个数被同时放在同抽屉里，则这两个数相等，而，互不相同，则互不相同，两者矛盾即有两个数在„，之中的个抽屉，也就是至少有两个数取同个值，且这两个数分别来自„，„，此是因为，根据已知条件，„，„，在各≧„≧≧≧≧≧„≧≧这些未知数只能在„，中取值，我们可以将„，这个数看作个抽屉考察数集„„，由于≧，运用抽屉原理可知，至少„，„，已知每组的数都是小于的互不相同的数不妨设„，„令，„，则有≧≧，则三者的和为，即为的倍数例设有两组整数，而且每组的数都是小于的互不相同的数，这两组数的数目个数≧，则存在对分别取自两组的数使这两个数的和为证明设这两组数为的和是形如的整数，即三者的和为的倍数如果有个整数在同个抽屉中，则由抽屉原理知，在余下的个数中有个数在同个抽屉中，余下的个数在另个抽屉中在个抽屉中各取个数，这个数的形式分别为数看作是个抽屉，将这个整数看作元素放入这个抽屉中由抽屉原理可知，至少存在个整数在同抽屉中，即它们都是形如的整数或如果有个以上的数在同个抽屉中，则取其中的任意三个数，它们面的应用数论问题中的应用例任意个整数中，有其中个整数的和为的倍数证明将整数分为形如及这类形式，，当能整除时当不能整除时则我们可以将这类整题时常用到的抽屉原理的表示形式，接下来，在了解了抽屉原理的基本形式以及多位学者所发展的推广形式的基础上，我们通过些比较典型的实例来说明抽屉原理在高等数学中数论离散数学高等代数以及抽象代数这五个方另外，抽屉原理还可以用映射的形式来表示，即设和是两个有限集，如果，那么对从到的任何满射，至少存在使抽屉原理在高等数学中的应用以上的几种形式就是我们解题另外，抽屉原理还可以用映射的形式来表示，即设和是两个有限集，如果，那么对从到的任何满射，至少存在使抽屉原理在高等数学中的应用以上的几种形式就是我们解题时常用到的抽屉原理的表示形式，接下来，在了解了抽屉原理的基本形式以及多位学者所发展的推广形式的基础上，我们通过些比较典型的实例来说明抽屉原理在高等数学中数论离散数学高等代数以及抽象代数这五个方面的应用数论问题中的应用例任意个整数中，有其中个整数的和为的倍数证明将整数分为形如及这类形式，，当能整除时当不能整除时则我们可以将这类整数看作是个抽屉，将这个整数看作元素放入这个抽屉中由抽屉原理可知，至少存在个整数在同抽屉中，即它们都是形如的整数或如果有个以上的数在同个抽屉中，则取其中的任意三个数，它们的和是形如的整数，即三者的和为的倍数如果有个整数在同个抽屉中，则由抽屉原理知，在余下的个数中有个数在同个抽屉中，余下的个数在另个抽屉中在个抽屉中各取个数，这个数的形式分别为，则三者的和为，即为的倍数例设有两组整数，而且每组的数都是小于的互不相同的数，这两组数的数目个数≧，则存在对分别取自两组的数使这两个数的和为证明设这两组数为„，„，已知每组的数都是小于的互不相同的数不妨设„，„令，„，则有≧≧≧„≧≧≧≧≧„≧≧这些未知数只能在„，中取值，我们可以将„，这个数看作个抽屉考察数集„„，由于≧，运用抽屉原理可知，至少有两个数在„，之中的个抽屉，也就是至少有两个数取同个值，且这两个数分别来自„，„，此是因为，根据已知条件，„，„，在各自集合中是互不相同的，假定两个数同时取自„也就是在这个数当中有两个数被同时放在同抽屉里，则这两个数相等，而，互不相同，则互不相同，两者矛盾即，离散数学中的应用例设有个位的二进制数试证存在整数和，，使得下列之必然成立，解由已知条件，在每个纵列中，含有三个元素，分别都只由两种选择，即或，则根据鸽巢原理，中至少个必然成立成立的时候取值的不同可以有种情况，而每横行共有七个元素再根据鸽巢原理，必有两列是相同的即之必然成立例三维空间中个坐标为整数的点，试证在两两相连的线段内，至少存在个坐标为整数的内点解三维空间中，任意两坐标为整数的点，若这两点相连的线段内不存在坐标为整数的内点，则对于这三个坐标轴，这两点至少在个坐标上的差值正好是那么，在这个坐标为整数的点中，任意取出点，与这个点的三个坐标中，存在的差值正好是的共有类，即与轴差值正好是，与轴差值正好是，与轴差值正好是，与，轴差值都是，与，轴差值都是，与，轴差值都是，与轴差值都是对于剩下的个点，若存在点不满足这种情况，那么点与这个点相连的线段内必有个坐标为整数的内点若剩下的个点都属于这种情况之，那么，运用鸽巢原理，则至少存在两个点属于这种情况中的同个情况，那么，这两点中必存在个坐标为整数的内点例把从到的个整数任意分为个部分，试证其中有部分至少有个数是两个数之和，或是另个数的两倍解用反证法假设存在划分，，中没有数是两个数之和，即中没有数是两个数之差根据鸽巢原理推论设到中至少有个元素属于，并设为，不妨设若中存在个元素是两个元素之差，则满足题目要求否则，令，，令显然中的元素仍然是到之间的数，即，根据假定中无属于，所以的元素属于，同理，设中至少存在属于的个元素设为，不妨设则根据假设，在中不存在个元素是两个元素之差令，，令，显然中的元素仍然是到之间的数，即，易知存在整数，使得所以，中的元素不属于，也不属于，只能属于根据鸽巢原理推论，设至少存在个元素属于设为六个点由点可以引出五条线段设如果两个人认识，则设这两个人组成的线段为红色如果两个人不认识，则设这两个人组成的线段为蓝色由抽屉原则可知这五条线段中至少有三条是同色的不妨设为红色若或为红色，则结论显然成立若和均为蓝色，则若为红色，则定有三个人相互认识若为蓝色，则定有三个人互相不认识上述的问题等价于下面的命题命题对个顶点的完全图任意进行红蓝两边着色，都存在个红色三角形或蓝色三角形命题运用抽屉原理可以很容易很简便地对其进行证明现将命题推广成下面的命题命题对六个顶点的完全图任意进行红蓝两边着色，都至少有两个同色三角形由于命题是要证明至少存在两个同色三角形的问题，而抽屉原理般只局限在证明至少存在个或必然存在个的问题，所以对于上述命题抽屉原理就显得无能为力，这时需要运用定理来解决问题证明设，是的六个顶点，由上面的命题可知，对任意进行红蓝两边着色都有个同色三角形，不妨设是红色三角形以下分各种情况来讨论若均为蓝边，如图所示，则若之间有蓝边，不妨设为，则三角形为蓝色三角形否则，为红色三角形图图若中有条红边，不妨设为红边，此时若边，中有条红边，不妨设是红边，则是红色三角形，见图以下就，均为蓝边的情况对与相关联的边的颜色进行讨论ⅰ若，中有蓝边，不妨设为蓝边，如图，此时，若，均为红边，则是红色三角形否则，或是蓝色三角形ⅱ若，均为红边，见图，此时，若之间有条红边，不妨设为红边，则为红色三角形否则，为蓝色三角形图图由以上对各种情况的讨论知，对的任意红蓝两边着色均有两个同色三角形从以上例子可知，抽屉原理在应用上确有不足之处，之上只是个特例，至于在别的领域中的不足之处还需我们进步的探索抽屉原理的应用领域十分广泛，涉及到高等数学的多个学科，并且在生活中也有广泛的应用，可以巧妙的用于解决些复杂问题，本文主要梳理总结了它在数论离散高等代数及抽象代数中的应用，其不足之处也由定理进