半平面，用这些极点可构成稳定的。以为例，有则为按以上方法，还可求得其他阶数的，巴特沃思系统函数的分母多项式如表所示。表巴特沃思低通滤波器分母多项式的系数根据技术指标设计滤波器，首先要确定出滤波器的阶数。由于巴特沃思逼近函数及其有关表格和曲线是按通带频率给出的，因此，需要对频率变量做尺度变换，将原始通带频率折算为根据技术指标设计滤波器，首先要确定出滤波器的阶数。由于巴特沃思逼近函数及其有关表格和曲线是按通带频率给出的，因此，需要对频率变量做尺度变换，将原始通带频率折算为按以上方法，还可求得其他阶数的，巴特沃思系统函数的分母多项式如表所示。表巴特沃思低通滤波器分母多项式的系数定的。以为例，有则为点以为间隔均匀分布在半径为的圆周上。图式的极点分布当取，时，用式求得的极点位于左半平面，用这些极点可构成稳。下面根据式求系统函数。令，有上式极点为，图给出了和时的极点分布，可见，个极时，频率每增加十倍，特性曲线下降，即以的速率下降。可以证明，，这表明在通带内具有最大平直特性的幅频特性如图所示，它具有以下特点图巴特沃思函数的幅频特性为单调减函数，愈大，愈接近理想低通滤波特性。当阶数。由上式可计算出时，时，，即在通带频率处衰减约，故有时称巴特沃思滤波器通带频率为时，。式描述的图几种逼近函数的幅频特性三巴特沃思逼近巴特沃思低通滤波器幅度函数的平方用下式给出式中通带频率取为，是系统函数的频率变换方法从的得到，以下取通带频率，只讨论低通滤波器的巴特沃思逼近函数和切比雪夫逼近函数，其他逼近函数可参考有关滤波器设计手册。沃思逼近图为切比雪夫逼近，通带波纹或通带变化量图为反切比雪夫逼近，阻带衰减或阻带变化量图为椭圆逼近，通带波纹，阻带衰减。由于任通带频率的系统函数可以利用均按等波纹变化。贝塞尔逼近它是用泰勒级数逼近附近的线性相位特性。图给出了低通滤波器几种逼近函数的幅频特性，均为阶函数，通带频率为，最大增益为。其中，图为巴特下，切比雪夫滤波器比巴特沃思滤波器有更好的衰减特性。反切比雪夫逼近其幅频特性在通带内单调衰减，在阻带内等波纹变化。椭圆逼近也称考尔逼近或双切比雪夫逼近其幅频特性在通带和阻带内近函数有巴特沃思逼近该逼近函数在通带和阻带内具有单调衰减的幅频特性。切比雪夫逼近其幅频特性在通带内等波纹变化，在阻带内单调衰减。在相同阶数条件与输出之间需要多个通路，从而导致了滤波器实现的复杂性，这在实际中应尽可能避免。以后均把取为最小相移函数。滤波器在工程中使用相当普遍，些逼近函数在滤波器设计中发挥着重要作用，低通滤波器常见的逼ˆˆˆˆ最小相移非最小相移图最小相移函数与非最小相移函数的平面图尽管系统的稳定性与系统函数零点的分布无关，但常见的滤波器用最小相移函数描述，否则在滤波器的输入两个系统函数，对任大于零的，全部零点位于左半平面的系统函数的相移总小于在右半平面有零点的系统函数的相移，故称极点和零点均在左半平面的系统函数为最小相移函数。两个系统函数，对任大于零的，全部零点位于左半平面的系统函数的相移总小于在右半平面有零点的系统函数的相移，故称极点和零点均在左半平面的系统函数为最小相移函数。ˆˆˆˆ最小相移非最小相移图最小相移函数与非最小相移函数的平面图尽管系统的稳定性与系统函数零点的分布无关，但常见的滤波器用最小相移函数描述，否则在滤波器的输入与输出之间需要多个通路，从而导致了滤波器实现的复杂性，这在实际中应尽可能避免。以后均把取为最小相移函数。滤波器在工程中使用相当普遍，些逼近函数在滤波器设计中发挥着重要作用，低通滤波器常见的逼近函数有巴特沃思逼近该逼近函数在通带和阻带内具有单调衰减的幅频特性。切比雪夫逼近其幅频特性在通带内等波纹变化，在阻带内单调衰减。在相同阶数条件下，切比雪夫滤波器比巴特沃思滤波器有更好的衰减特性。反切比雪夫逼近其幅频特性在通带内单调衰减，在阻带内等波纹变化。椭圆逼近也称考尔逼近或双切比雪夫逼近其幅频特性在通带和阻带内均按等波纹变化。贝塞尔逼近它是用泰勒级数逼近附近的线性相位特性。图给出了低通滤波器几种逼近函数的幅频特性，均为阶函数，通带频率为，最大增益为。其中，图为巴特沃思逼近图为切比雪夫逼近，通带波纹或通带变化量图为反切比雪夫逼近，阻带衰减或阻带变化量图为椭圆逼近，通带波纹，阻带衰减。由于任通带频率的系统函数可以利用频率变换方法从的得到，以下取通带频率，只讨论低通滤波器的巴特沃思逼近函数和切比雪夫逼近函数，其他逼近函数可参考有关滤波器设计手册。图几种逼近函数的幅频特性三巴特沃思逼近巴特沃思低通滤波器幅度函数的平方用下式给出式中通带频率取为，是系统函数的阶数。由上式可计算出时，时，，即在通带频率处衰减约，故有时称巴特沃思滤波器通带频率为时，。式描述的的幅频特性如图所示，它具有以下特点图巴特沃思函数的幅频特性为单调减函数，愈大，愈接近理想低通滤波特性。当时，频率每增加十倍，特性曲线下降，即以的速率下降。可以证明，，这表明在通带内具有最大平直特性。下面根据式求系统函数。令，有上式极点为，图给出了和时的极点分布，可见，个极点以为间隔均匀分布在半径为的圆周上。图式的极点分布当取，时，用式求得的极点位于左半平面，用这些极点可构成稳定的。以为例，有则为按以上方法，还可求得其他阶数的，巴特沃思系统函数的分母多项式如表所示。表巴特沃思低通滤波器分母多项式的系数根据技术指标设计滤波器，首先要确定出滤波器的阶数。由于巴特沃思逼近函数及其有关表格和曲线是按通带频率给出的，因此，需要对频率变量做尺度变换，将原始通带频率折算为，相应地将原始阻带角频率折算为，这过程有时称之为频率归化。将通带频率为的低通滤波器转化为其他通带频率低通滤波器的过程为去归化，可称为低通到低通变换，如图所示。将通带频率是的系统函数变换为通带频率是的系统函数的变换关系为图变换系统函数的阶数可用式确定，设阻带衰减的值式中为的阻带频率。可求得按式求得滤波器的阶数后，查表就可得到，利用式，用替代中的，即可得到满足技术指标要求的系统函数。例已知低通滤波器系统函数采用巴特沃思逼近，通带角频率，阻带角频率，阻带衰减不小于，求。解确定阶数波器电流镜直接在晶体管级设计，输入输出均为电流二阶滤波器的频率特性二阶滤波器在实际中使用较多，它也是采用级联方法设计高阶滤波器的基本模块，尽管其电路结构非常多，但分析方法却基本相同。在滤波器理论中，常将二阶系统函数表示成如下形式低通带通高通陷波全通式中称为无阻尼固有频率或极点频率，对带通滤波器，也是中心频率称为品质因数，它的大小直接影响幅频曲线的尖锐程度。图给出了二阶滤波器的幅频特性，其中分别取，愈大曲线愈尖锐均归化为系数陷波滤波器的系数，。，图二阶滤波器的频率响应如果对串联电路见图分别以电容电阻电感电压为输出列写系统函数，则分别对应于低通带通高通滤波器。以电容电压为例，可求得比较式和式，则极点频率和品质因数分别为该结果与电路课中对谐振现象研究定义的致。以下只讨论有源滤波电路。图串联电路二单运放有源滤波器有源滤波器电路种类很多，图给出了种低通电路，它是由和于年提出的，图中三角符号表示电压放大器，可用运算放大器实现，如同图所示，电压放大倍数对图列写结点方程，有结点结点电压放大器的关系式为滤波器电路同相比例器图低通滤波器电路由以上三式得则系统函数比较式与式，得在和给定时，用以上两式确定尚有三个自由参数，可按以下两种方法确定取，指定和的值，求解和指定和的值，注意必须大于，求解和。设给定系统函数的分母多项式为，由式有借助计算机求解以上两个方程则比较方便，可取多组数据设计，最后选取个比较好的解。例设二阶低通滤波器的品质因数，极点频率，直流增益，如果选用电路实现，设取，，试确定电阻值。解在归化条件下设计为了数值运算简单起见，将极点频率归化为，设取，，在此条件下，根据和可求得由式和式得由以上两式求得归化条件下。去归化首先将极点频率变换为，则由于要求，故给电容乘以，给电阻除以，最终得由于直流增益，电压放大器为跟随器，即图中去除，可用短路线替代。三多运放有源滤波器二阶有源滤波器也可用多个运算放大器实现，它比单运算放大器电路灵敏度低品质因数高设计灵活调试方便。下面介绍用状态变量方法设计的二阶滤波器。设二阶系统函数为若将输出表示为