在上面行列式的第行中去掉与第行成比例的分行，得到个新的行列式，在此新行列式的第行中去掉与第行成比例的分行，得到法四各行列元素均为元素的不同方幂，但都缺少同方幂的行列式，可用各种方法化成行列式。下面用加边法。例缺行行列式该元素对应的代数余子式，在式右端，由多项式计算，为的个不同根。根据根与系数的关系，项的系数为，由式的两端分别计算多项式中项的系数，在左端，由行列式计算的系数为行列式中个数的个正序排列。表示对所有阶排列求和。证在行列式，中增补第行和列相应的元素考虑阶行列式性质推广的性质定理行列式，其中，是中，于是就有，其中表示连乘的取值为，原命题得证。方法与方法二的实质与算法是致的，可以说是同种方法。行列式的即证。方法二数学归纳法证当时，成立。假设对于阶成立，对于阶有首先要把降阶，从第行起后行减去前行的倍，然后按第行进行展开，就有用表示出来。重复用上述方法对进行求解，经过有限步可以得到首项展开得到注意到行列式是阶行列式，即已经将按行列式法证从第行开始，每行加上前行的倍。根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有行列式，其中表示这个数码的所有可能，因子共项的乘积。行列式的证法方法消元行列式的种特殊类型行列式定义我们把型如的行列式叫做或第行列展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解解按第行展开直接递推不易得到结果按低级是可以的，变形得递推法或数学归纳法例计算级行列式分析对于三对角或次三对角行列式，按其第行列加边法，适当选择所增加行或列的元素，使得下步化简后出现大量的零元素解升级升级法例计算级行列式分析该行列式的各行列含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加行列称为升级发或加升级法例计算级行列式分析该行列式的各行列含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加行列称为升级发或加边法，适当选择所增加行或列的元素，使得下步化简后出现大量的零元素解升级递推法或数学归纳法例计算级行列式分析对于三对角或次三对角行列式，按其第行列或第行列展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解解按第行展开直接递推不易得到结果按低级是可以的，变形得行列式的种特殊类型行列式定义我们把型如的行列式叫做行列式，其中表示这个数码的所有可能，因子共项的乘积。行列式的证法方法消元法证从第行开始，每行加上前行的倍。根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有按行列式首项展开得到注意到行列式是阶行列式，即已经将用表示出来。重复用上述方法对进行求解，经过有限步可以得到即证。方法二数学归纳法证当时，成立。假设对于阶成立，对于阶有首先要把降阶，从第行起后行减去前行的倍，然后按第行进行展开，就有，于是就有，其中表示连乘的取值为，原命题得证。方法与方法二的实质与算法是致的，可以说是同种方法。行列式的性质推广的性质定理行列式，其中，是中个数的个正序排列。表示对所有阶排列求和。证在行列式，中增补第行和列相应的元素考虑阶行列式由式的两端分别计算多项式中项的系数，在左端，由行列式计算的系数为行列式中该元素对应的代数余子式，在式右端，由多项式计算，为的个不同根。根据根与系数的关系，项的系数为，，其中，是，中个数的个正序排列表示对所有阶排列求和。比较中项的系数，计算行列式，因为式左右两端项系数应该相等，所以，即，，定理得证。利用此性质定理可以计算各阶准行列式，简便易行。特别，当时，令，式即为行列式。例计算准行列式解由定理，所以个行列式为的充分必要条件是，中至少有两个相等行列式的偏导数定理，，由行列式的定义知，是，的元函数例设，是个两所以如何利用行列式计算行列式法所给行列式各行列都是元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与行列式不完全相同，需利用行列好似性质如提取公因式，调换各行列的次序等将行列式化为行列式。例计算解,,,法二利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行列的行列式。例计算阶行列式，其中，解提取各行的公因式，得到行列式上式右端行列式是以新元素，为列元素的阶行列式，所以法三如阶行列式的第行列由两个分行列所组成，其中任意相邻两行列均含有相同分行列，且中含有个分行列组成的行列式，那么将的第行列乘以加到行列，消除些分行列，即可化成行列式。例计算行列式解在的第行中去掉与第行成比例的分行，得到在上面行列式的第行中去掉与第行成比例的分行，得到个新的行列式，在此新行列式的第行中去掉与第行成比例的分行，得到法四各行列元素均为元素的不同方幂，但都缺少同方幂的行列式，可用各种方法化成行列式。下面用加边法。例缺行行列式，解注意此行列式与行列式的区别在于的幂跳过，我们自然会想到把缺了的幂补起来，再利用行列式，故令，，另方面，对按最后列进行展开，可知的代数余子式是，因此视为的多项式，则，应是的系数，故，的系数，注缺行行列式也叫做超行列式或准行列式。注利用此例中的添加些行和列的方法，还可计算跳过两个幂的超行列式，及其他行列式。注意当时，故，也含因子。特别，知，因，和，都是齐次及对称多项式，故，应是次齐次对称多项式。按，的次序排列时的首项为的首项，故知的首项为，由此可得到法五行列式中其他各行列都是元素的不同方幂，只有行列的元素不是相应元素的零次幂即该行列元素都不是，而是各行列元素的函数，利用行列式性质将这行列元素化为全是的元素。例证明证将的第行加到第行上，得到行列式在多项式理论中的应用例设多项式，，则不可能有非零且重数大于的根。证明反设是的重数大于的根，则，，进而，即把看作以，为未知量的齐次线性方程组，则的系数行列式为故方程组只有零解，从而，因此必须，这与矛盾，故没有非零且重数大于的根。小结以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进步系统的阐述了行列式的些重要性质和应用等知识。以便更好的为我们的科研和生活服务。参考文献张贤科，许甫华高等代数清华大学出版社，卢刚，冯翠莲线性代数北京大学出版社，樊恽，郑延履，刘合国线性代数学习指导北京科学出版社，万勇，李兵线性代数上海复旦大学出版社，毛纲源线性代数解题方法技巧归纳武汉华中科技大学出版社，苏醒侨，卢陈辉线性代数冶金工业出版社，王新长，行列式在高等代数中的应用，井冈山师范学院学报自然科学，年美沈复兴，傅莺莺，莫单玉等译人民邮电出版社宴林，范德蒙行列式的应用，文山师范高等专科学校学报，刘建中，范德蒙行列式的个性质的证明及其应用，河北大学学报自然科学版，张禾瑞，高等代数，北京高等教育出版社谢辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢。指导老师严谨治学的态度使我受益匪浅在论文写