的最小值，而为在，上的最大值由积分中值定理得，即注由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理如果在证明如和例题时，可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便证明函数的单调性例设函数在，上连续，，试证在，内，若为非减函数，则为非增函数证明，对上式求导，得，存在点，使注在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，般应用积分中值定理求解，掌握积分中值定理在解此类问题时至关重要，是我们必须要好好掌握的证明不等式例求证，使，证明由积分中值定理得，其中又因为在，上连续，在，内可导故在，上满足罗尔定理条件，可限样的积分相加，最后利用积分中值定理确定积分的符号这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性证明中值的存在性命题例设函数在，上连续，在，内可导，且，证明，其中又在，上不恒等于，故注在解决其类题时，我们常常会以作为上下限的中介点，然后把原积分写成以为中介点的两个积分的和，积分化就成两个以为中介点且上下利用积分中值定理，得注求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号在应用该定理时，要注中值不仅依赖于积分区间，而且还依赖于根式中自变量的趋近方式确定积分的符号例确定积分的符号解而第二个积分，由于得任意性知其课任意小所以其中为任意小的正数对第积分中值定理使用推广的积分第中值定理，有，解若直接用中值定理，因为而不能严格断定，其症结在于没有排除，故采取下列措施定理得当时，，而故例求也是我们在学习过程中逐渐要培养的，积累的好习惯求含有定积分的极限例求极限为自然数解利用中值定理，得因为在，上连续，由积分中值分的函数在积分闭区间上连续，在开区间上可导，然后判断函数在积分区间上的单调性，最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了综上，在利用积分中值定理估计积分的值时，我们要根据不同的题型给出不同的解决方法，这，内无解，即，等号仅在时成立故在，内严格单调增，即，所以由积分第中值定理有在估计其类积分的值时，首先要确定要积上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值，然后再利用积分中值定理就迎刃而解了例估计的值解因为在，上连续，在，内可导，且在在，上连续，且，，，，所以由积分第中值定理有在估计其类积分的值时，首先我们要确定被积函数在积分区间分的值例估计的值解由推广的积分第中值定理，得，其中，因为，所以，即，故例估计的值解因为注在解区间上个函数的平均值时，我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分，然后积分结果除以区间的差值在这里主要是应用了积分第中值定理，所以求解其类问题时，定要理解积分中值定理的定义估计定积分注在解区间上个函数的平均值时，我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分，然后积分结果除以区间的差值在这里主要是应用了积分第中值定理，所以求解其类问题时，定要理解积分中值定理的定义估计定积分的值例估计的值解由推广的积分第中值定理，得，其中，因为，所以，即，故例估计的值解因为在，上连续，且，，，，所以由积分第中值定理有在估计其类积分的值时，首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值，然后再利用积分中值定理就迎刃而解了例估计的值解因为在，上连续，在，内可导，且在，内无解，即，等号仅在时成立故在，内严格单调增，即，所以由积分第中值定理有在估计其类积分的值时，首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续，在开区间上可导，然后判断函数在积分区间上的单调性，最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了综上，在利用积分中值定理估计积分的值时，我们要根据不同的题型给出不同的解决方法，这也是我们在学习过程中逐渐要培养的，积累的好习惯求含有定积分的极限例求极限为自然数解利用中值定理，得因为在，上连续，由积分中值定理得当时，，而故例求解若直接用中值定理，因为而不能严格断定，其症结在于没有排除，故采取下列措施其中为任意小的正数对第积分中值定理使用推广的积分第中值定理，有，而第二个积分，由于得任意性知其课任意小所以注求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号在应用该定理时，要注中值不仅依赖于积分区间，而且还依赖于根式中自变量的趋近方式确定积分的符号例确定积分的符号解利用积分中值定理，得其中又在，上不恒等于，故注在解决其类题时，我们常常会以作为上下限的中介点，然后把原积分写成以为中介点的两个积分的和，积分化就成两个以为中介点且上下限样的积分相加，最后利用积分中值定理确定积分的符号这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性证明中值的存在性命题例设函数在，上连续，在，内可导，且，证明，，使，证明由积分中值定理得，其中又因为在，上连续，在，内可导故在，上满足罗尔定理条件，可存在点，使注在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，般应用积分中值定理求解，掌握积分中值定理在解此类问题时至关重要，是我们必须要好好掌握的证明不等式例求证证明其中，，于是由即可获证例证明证明估计连续函数的积分值的般的方法是求在，的最大值和最小值，则因为，，所以例证明证明估计积分的般的方法是求在，的最大值和最小值，又若，则本题中令，因为，所以例证明证明在区间，上求函数的最大值和最小值，令，得驻点比较，，知为在，上的最小值，而为在，上的最大值由积分中值定理得，即注由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理如果在证明如和例题时，可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便证明函数的单调性例设函数在，上连续，，试证在，内，若为非减函数，则为非增函数证明，对上式求导，得，利用积分中值定理，得若为非减函数，则，所以，故为非减函数综上所述，积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，从而使问题简单化因此，对于证明有关题设中含有个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号在使用该定理时，常与微分中值定理或定积分的其他些性质结合使用，是所求问题迎刃而解参考文献华东师范大学数学系数学分析北京高等教育出版社，张筑生数学分析新讲北京北京大学出版社，刘玉莲，傅沛仁数学分析讲义第二版北京高等教育出版社，刘鸿基数学分析习题讲义江苏中国矿业大学出版社，石建成，李佩芝，徐文雄高等数学例题与习题集西安西安交通大学出版社，李惜雯数学分析例题解析及难点注释西安西安交通大学出版社，白永丽，张建中略谈积分中值定理及应用平顶山工业职业技术学院刘开生，王贵军积分中值定理的推广天水师范学院周建莹，李正元高等数学解题指南北京北京大学出版社，刘剑秋，徐绥，高立仁高等数学习题集上天津天津大学出版社，吴炯圻数学专业英语第二版北京高等教育出版社毕业论文题目积分中值定理在数学分析中的应用