代入式得积分可表示为ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ式中含和的ˆˆˆˆˆˆˆˆ，ˆˆˆˆˆ代入式得积分可表示为„为了使辐射方向ˆ有简单的表示，不妨设这样的坐标轴，使的方向为ˆ轴。假定观察者在平面内，从而有ˆˆˆ，则有ˆˆ其中。把式代入周期运动的谱公式中得ˆˆˆ析。按照电子运动方程式，取圆周运动的圆心在坐标轴的原点，轨道平面选为，平面，电子的位置和和分别为二〇〇八年十二月二十六日星期五ˆˆ如，在的磁场中，有个的高能电子，，则可知，即电子的半径的数量级为百万公里。为简单起见，先对非相对论电子沿着圆轨道运动即电子速度的回旋辐射谱进行分的圆轨道或螺旋轨道运动的方程和式是样的，只不过回转频率比拉摩频率小倍。虽然由方程式可知相对论电子是作圆周运动或螺旋运动，然而实际上是接近直线的，因为电子运动的半径很大。例导出式的条件是，即只适用于的极低速电子，然而实际上即使不近似于所得到的结果仍然与式非常相似，只不过电子的回旋频率发生变化，不再是拉摩频率而改写为。对于相对论电子在磁场中，其中都是由初始条件定。方程表示非相对论电子在磁场中沿着轴平行于的螺旋线运动，式中的被称为拉摩半径，电子的频率为拉摩频率。从式射的谱在均匀磁场中，电子受洛伦玆力的作用，运动的方程为解式得电子的轨道方程，的，则电子的平均总功率为由可知非相对论电子的回旋辐射功率与其能量成正比即正比于，二〇〇八年十二月二十六日星期五且与磁场的平方成正比。二回旋辐角。而电子的经典半径为则代入经典半径，以及光速值则对于非相对论电子速度分布是各向同性个速度为的电子的总功率习惯用来表示，而不是用。因此对于非相对论电子有代入式得其中是投射角，即与之间的夹其中是与的夹角有了式即回旋辐射的角分布就可以通过对所有的立体角的积分对于给定的磁场，ˆˆˆ在非相对论极限下即电子的速度此时则由式得ˆˆˆ因此粒子在单位时间中沿给定方向的单位立体角辐射的能量即辐射角分布公式为ˆˆ而ˆ因此粒子在单位时间中沿给定方向的单位立体角辐射的能量即辐射角分布公式为ˆˆ而ˆˆˆ在非相对论极限下即电子的速度此时则由式得ˆˆ其中是与的夹角有了式即回旋辐射的角分布就可以通过对所有的立体角的积分对于给定的磁场，个速度为的电子的总功率习惯用来表示，而不是用。因此对于非相对论电子有代入式得其中是投射角，即与之间的夹角。而电子的经典半径为则代入经典半径，以及光速值则对于非相对论电子速度分布是各向同性的，则电子的平均总功率为由可知非相对论电子的回旋辐射功率与其能量成正比即正比于，二〇〇八年十二月二十六日星期五且与磁场的平方成正比。二回旋辐射的谱在均匀磁场中，电子受洛伦玆力的作用，运动的方程为解式得电子的轨道方程，，其中都是由初始条件定。方程表示非相对论电子在磁场中沿着轴平行于的螺旋线运动，式中的被称为拉摩半径，电子的频率为拉摩频率。从式导出式的条件是，即只适用于的极低速电子，然而实际上即使不近似于所得到的结果仍然与式非常相似，只不过电子的回旋频率发生变化，不再是拉摩频率而改写为。对于相对论电子在磁场中的圆轨道或螺旋轨道运动的方程和式是样的，只不过回转频率比拉摩频率小倍。虽然由方程式可知相对论电子是作圆周运动或螺旋运动，然而实际上是接近直线的，因为电子运动的半径很大。例如，在的磁场中，有个的高能电子，，则可知，即电子的半径的数量级为百万公里。为简单起见，先对非相对论电子沿着圆轨道运动即电子速度的回旋辐射谱进行分析。按照电子运动方程式，取圆周运动的圆心在坐标轴的原点，轨道平面选为，平面，电子的位置和和分别为二〇〇八年十二月二十六日星期五ˆˆˆˆ其中。把式代入周期运动的谱公式中得ˆˆˆ„为了使辐射方向ˆ有简单的表示，不妨设这样的坐标轴，使的方向为ˆ轴。假定观察者在平面内，从而有ˆˆˆ，则有ˆ，ˆˆˆˆˆ代入式得积分可表示为ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ式中含和的两个积分分别和贝塞尔函数及其导数联系着。由贝塞尔函数及的两个积分的表示可以化简上式中含有和的积分，化简得到两个结果，即二〇〇八年十二月二十六日星期五，其中代表正整数阶贝塞尔函数，是对其宗量的导数。由此可以算出ˆˆˆˆˆˆ式因此可以把当作无量纲的同步辐射谱。理论谱在测量电子加速器中辐射的实验中得到证实，磁场为二〇〇八年十二月二十六日星期五最大的电子能量为相当于，测量的结果证实了观测到从直到的连续谱，其中，辐射延伸到呈蓝色的可见光波段。对于螺旋轨道相对论电子的谱公式和式非常类似，只是把式中的都用代替即可，从而得到螺旋轨道相对论电子的同步辐射的谱公式为由上式可知螺旋轨道电子的同步辐射的谱形和圆轨道电子的形似，只是临界频率发生了改变，还有观察者收到的辐射脉冲周期观小于原来发射的周期，这是由于同步辐射具有很强的方向性。三同步辐射的角分布对式中的三矢积进行展开得ˆˆ上式进行平方运算得ˆˆ构建个坐标系沿着轴，在平面相对于的夹角为，单位矢量ˆ描述有构成的的观测方向，即ˆ在方向有加速度为和方向有速度为的电荷在平面的辐射角的模型，在非相对论和相对论运动的情况下ˆ，由上面的公式和通过是给出接收功率的角分布，角是推迟时间内和的夹角，当平行于即时，可以得到当垂直于即时可以得到二〇〇八年十二月二十六日星期五如图是极端情况下的非相对论运动和相对论运动的角分布图形其中的非相对论电子的角分布和的图及图给出的相对论电子辐射角分布有很大的不同，前者有很宽的角范围的辐射，而后者具有方向性，这种方向性也加作相对论粒子辐射的集束效应，以上的不同主要是由于高能粒子在其辐射方向上的多普勒效应而增强的，而其他方向，特别是背靠着速度的方向上辐射剧减。四同步辐射的偏振特性为方便说明同步辐射的偏振，必须将电矢沿两个与辐射方向ˆ垂直的，并且彼此互相垂直的方向，分解。规定为方向垂直于磁场及传播方向的单位矢，而为垂直于和传播方向的单位矢。也就是磁场在垂直于波传播方向的平面的投影方向。电矢，由于同步辐射有很强的方向性所以对于个投射角是而速度为的电子，电子的瞬时速度方向图中用表示与它的辐射方向ˆˆ的方向在图中用表示几乎是致的，即。辐射方向和速度方向间的微小差异我们用表示。沿ˆ方向传播的同步辐射，其电矢的两个分量和正好有的相位差，这表明同步辐射是椭圆偏振波，偏振椭圆的短轴与长轴分别平行于和，其椭率有下式给出二〇〇八年十二月二十六日星期五其中是个小量，，宗量，。由上式椭圆偏振光是左旋或右旋，由的正负号决定，是很小的数，因此有。尤其在时，