在中，，又⊥故已知和相交于，两点，过点作切线交于点，连接并延长交于点，直线交于点当点与点不重合时，证明当点与点重合时，若求直径解证明连接，在延长线上取点，如图，因为是切线，切点为，所以因为，所以，而是内接四边形外角，所以，所以，所以当点与点重合时，直线与只有个公共点，所以直线与相切，连接，如图，由弦切角定理知，，，而，所以，所以与分别为和直径，所以由切割线定理知而所以，故直径为≌所以，所以，四点共圆由题知，所以，又，所以如图，已知圆与圆外切于点，直线是两圆外公切线，分别与两圆相切于，两点，是圆直径，过作圆切线，切点为求证三点共线求证证明连接是圆直径，连接，则必过点，设，是两圆外公切线为切点，，⊥，⊥，，又，，，又，三点共线切圆于点，在中，，又⊥故已知和相交于，两点，过点作切线交于点，连接并延长交于点，直线交于点当点与点不重合时，证明当点与点重合时，若求直径解证明连接，在延长线上取点，如图，因为是切线，切点为，所以因为，所以，而是内接四边形外角，所以，所以，所以当点与点重合时，直线与只有个公共点，所以直线与相切，连接，如图，由弦切角定理知，，，而，所以，所以与分别为和直径，所以由切割线定理知而所以，故直径为别为点和点，由切割线定理得即点为中点由为圆直径，得⊥，如图，点是圆内两弦和交点，过延长线上点作圆切线，为切点，已知求证证明由切割线定理得，又，所以，即因为，所以由得因为，所以，所以如图，点是直径延长线上点，割线交于，两点，弦与直径垂直，为垂足，与交于点求证若⊥，，半径为，求弦长解证明连接是直径，弦与直径垂直，为垂足，在上，，又，即由割线定理得，由已知，得直线是弦垂直平分线⊥，由，，得，，在中，，，如图，是直角三角形，，以为直径圆交于点，点是边中点，连接交圆于点求证，四点共圆若求长度解证明连接则⊥，又点是中点，所以，又所以≌所以，所以，四点共圆由题知，所以，又，所以如图，已知圆与圆外切于点，直线是两圆外公切线，分别与两圆相切于，两点，是圆直径，过作圆切线，切点为求证三点共线求证证明连接是圆直径，连接，则必过点，设，是两圆外公切线为切点，，⊥，⊥，，又，，，又，三点共线切圆于点，在中，，又⊥故已知和相交于，两点，过点作切线交于点，连接并延长交于点，直线交于点当点与点不重合时，证明当点与点重合时，若求直径解证明连接，在延长线上取点，如图，因为是切线，切点为，所以因为，所以，而是内接四边形外角，所以，所以，所以当点与点重合时，直线与只有个公共点，所以直线与相切，连接，如图，由弦切角定理知，，，而，所以，所以与分别为和直径，所以由切割线定理知而所以，故直径为≌所以，所以，四点共圆由题知，所以，又，所以如图，已知圆与圆外切于点，直线是两圆外公切线，分别与两圆相切于，两点，是圆直径，过作圆切线，切点为求证三点共线求证证明连接是圆直径，连接，则必过点，设，是两圆外公切线为切点，，⊥，⊥，，又，，，又，三点共线切圆于点，在中，，又⊥故已知和相交于，两点，过点如图，四边形是边长为正方形，以为圆心，为半径圆弧与以为直径半圆交于点，连接并延长交于点求证点是中点求线段长解证明由题意知，与圆和圆都相切，切点分别为点和点，由切割线定理得即点为中点由为圆直径，得⊥，如图，点是圆内两弦和交点，过延长线上点作圆切线，为切点，已知求证证明由切割线定理得，又，所以，即因为，所以由得因为，所以，所以如图，点是直径延长线上点，割线交于，两点，弦与直径垂直，为垂足，与交于点求证若⊥，，半径为，求弦长解证明连接是直径，弦与直径垂直，为垂足，在上，，又，即由割线定理得，由已知，得直线是弦垂直平分线⊥，由，，得，，在中，，，如图，是直角三角形，，以为直径圆交于点，点是边中点，连接交圆于点求证，四点共圆若求长度解证明连接则⊥，又点是中点，所以，又所以≌所以，所以，四点共圆由题知，所以，又，所以如图，已知圆与圆外切于点，直线是两圆外公切线，分别与两圆相切于，两点，是圆直径，过作圆切线，切点为求证三点共线求证证明连接是圆直径，连接，则必过点，设，是两圆外公切线为切点，，⊥，⊥，，又，，，又，三点共线切圆于点，在中，，又⊥故已知和相交于，两点，过点作切线交于点，连接并延长交于点，直线交于点当点与点不重合时，证明当点与点重合时，若求直径解证明连接，在延长线上取点，如图，因为是切线，切点为，所以因为，所以，而是内接四边形外角，所以，所以，所以当点与点重合时，直线与只有个公共点，所以