义域关于原点对称，周期函数定义域是无界或和是定义域上恒等式若是个周期，则，也是周期为奇函数⇔图象关于原点对称为偶函数⇔图象关于轴对称是周期函数，则图象周期性重复出现判断函数奇偶性方法定义法图象法性质法函数奇偶性与周期性是函数两个重要性质，它们存在着定联系，特别是存在两条对称轴函数，定是个周期函数，且最小正周期是相邻两条对称轴之间距离倍全国新课标Ⅱ设函数，则使得成立取值范围是，，，，，，解析由已知可知定义域为，且有于原点对称，否则为非奇非偶函数其次，若满足中条成立，则函数为奇函数若满足中条成立，则函数为偶函数分段函数要对其定义域每个区间上奇偶性进行判断，最后综合得出在定义域内总有或，从而判定其奇偶性，不能以其中个区间来代替整个定义域二奇偶性应用例已知是定义在上偶函数，且当时，，若对任意实数都有恒成立，则实数取值范围是，，解析，所以在，上，也即在，上单调递增，由得，又是偶函数，所以，所以，此不等式在，时恒成立，则，解得点评注意偶函数性质应用要求参数取值范围，就要列关于参数不等式组，因而利用函数单调性奇偶性化“抽象不等式”为“具体代数不等式”利用函数奇偶性求解函数解析式，抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上解析式，或充分利用奇偶性得出关于方程，从而可得解析式根据奇函数偶函数图象对称性，作原点或轴侧图象，另侧图象可由对称得到三周期函数判断及简单应用例已知函数周期为，当，时，那么函数图象与函数图象交点共有个个个个解析由函数周期为，又当，时，，，在同坐标系中分别作出这两个函数图象，如图，可找到交点共有个点评本题考查根存在性及根个数判断，解决本题关键是正确画出这两个函数图象例已知函数定义域为，且满足求证是周期函数若为奇函数，且当时在，上求使所有个数解析是以为周期周期函数当时设，则，是奇函数即故又设，则，由，解得是以为周期周期函数，故满足所有值为令，则，，在，上共有个使点评本题考查函数奇偶性，函数单调性及值域属于函数综合问题，逐个把握应用好奇偶性周期性和单调性性质来解决函数奇偶性周期性单调性定义中都要求变量取值任意性，因而在证明函数周期性奇偶性或单调性时，需要其在定义域内所有区间取值都成立，而要证明个函数不是周期函数单调函数或奇偶函数，只需举出组反例即可备选题例已知定义域为函数是奇函数求值判断函数单调性，并求其值域解关于不等式解析因为是奇函数，知，解得经检验，当时，函数是奇函数由知由上式易知在，上为减函数此处可用定义或导数法证明函数在上是减函数由于函数定义域为，所以，因此，即，解不等式可得，或函数奇偶性周期性是在整个定义域内讨论整体性质，要正确理解奇函数与偶函数周期函数定义，必须注意以下几点奇偶函数定义域关于原点对称，周期函数定义域是无界或和是定义域上恒等式若是个周期，则，也是周期为奇函数⇔图象关于原点对称为偶函数⇔图象关于轴对称是周期函数，则图象周期性重复出现判断函数奇偶性方法定义法图象法性质法函数奇偶性与周期性是函数两个重要性质，它们存在着定联系，特别是存在两条对称轴函数，定是个周期函数，且最小正周期是相邻两条对称轴之间距离倍全国新课标Ⅱ设函数，则使得成立取值范围是，，，，，，解析由已知可知定义域为，且有，则解析是奇函数，⇒，若函数是奇函数，则解析定义域为，，，为奇函数，经验证，为奇函数函数是上奇函数，满足，当，时则当，时，解析因为，所以函数图象关于直线对称，即成立，设则且设则则，又因为为奇函数，所以，即当，时故填若函数为定义在上奇函数，当时则不等式时令当时，单调递增，所以极小，且当时，由于是奇函数，所以当时定义在上偶函数，且对任意实数都有，当，时若在区间，内，函数有个零点，则实数取值范围为解析由得函数周期为由，得，分别作出函数，图象，设，要使函数有个零点，则直线斜率，因为，所以，即实数取值范围是，已知函数对于任意有，且当，时则以下命题正确是函数是周期为偶函数函数在，上单调递增函数最大值是若关于方程有实根，则实数范围是当，，时，其中真命题序号是解析，所以是周期为函数，故正确又因为当，时可知图象如图由图像可知正确由图象可知函数在，上单调递减，所以最大值为，最小值为，故错误因为方程有实根，所以，因为所以故范围是由图像可知当，，时，，故错误定义在上奇函数有最小正周期，且，时，求在，上解析式判断在，上单调性，并给予证明当为何值时，关于方程在，上有实数解解析当时，又为奇函数，，当时，由⇒，有最小正周期，⇒，综上所述，，设，，，在，上为减函数即求函数在，上值域当，时由知，在，上为减函数，当，时，当时，，值域为，，故符合要求取值为，，于原点对称，否则为非奇非偶函数其次，若满足中条成立，则函数为奇函数若满足中条成立，则函数为偶函数分段函数要对其定义域每个区间上奇偶性进行判断，最后综合得出在定义域内总有或，从而判定其奇偶性，不能以其中个区间来代替整个定义域二奇偶性应用例已知是定义在上偶函数，且当时，，若对任意实数都有恒成立，则实数取值范围是，，解析，所以在，上，也即在，上单调递增，由得，又第讲函数周期性与奇偶性学习目标理解函数奇偶性概念，了解函数周期性定义，掌握函数奇偶性判定方法和图象特征会利用函数奇偶性周期性分析探究函数值性质及图象等问题基础检测下列命题中若是奇函数，在处有定义，则偶函数在定义域内必不是单调函数若奇函数与偶函数定义域交集为非空集合，则函数定是奇函数若函数图象关于轴对称，则定是偶函数正确命题个数有个个个个解析正确，由是奇函数，有，所以正确正确由此可总结奇偶函数运算性质正确由此可总结偶函数图象特征故选已知是偶函数，是奇函数，且，则解析易得又因是偶函数，是奇函数，式⇔联立求解得，故选已知是定义在上周期为奇函数，当，时则解析因为是定义在上周期为奇函数，所以，当，时，故选若函数为奇函数，则解析函数是奇函数，所以有，，对于函数定义域内任意个知识要点函数奇偶性定义般地，如果都有，那么函数就叫做都有，那么函数就叫做偶函数奇函数图象关于成对称图形，若奇函数定义域含数，则必有偶函数图象关于成对称图形，对定义域内任意值，必有原点中心轴轴奇函数定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数条件在定义域公共部分内，当，均为奇函数时，是函数，是函数当，均为偶函数时，有是函数，是函数当，个是奇函数，个是偶函数时，是奇函数必要不充分奇偶偶偶函数周期性定义设函数，若存在非零常数，使得对任意都有，则函数为周期函数，称为个周期若函数对定义域中任意满足或等，则函数必是，它个周期为如果在周期函数所有周期中，那么这个最小正数就叫做周期函数存在个最小正数最小正周期般地，如果个函数满足，则函数图象关于直线对称若函数满足或，则函数图象关于直线对称判断函数奇偶性例下列函数中，既是偶函数又是区间，上增函数有填写所有符合条件序号，时此时在，上单调递增因为函数定义域为，，可知此函数为非奇非偶函数时，此时函数在，上单调递增综上可得符合要求有点评判断函数奇偶性有多种方法，如定义法图象法性质法，但都注意前提是定义域是否关于原点对称奇偶函数首先要满足定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数其次，若满足中条成立，则函数为奇函数若满足中条成立，则函数为偶函数分段函数要对其定义域每个区间上奇偶性进行判断，最后综合得出在定义域内总有或，从而判定其奇偶性，不能以其中个区间来代替整个定义域二奇偶性应用例已知是定义在上偶函数，且当时，，若对任意实数都有恒成立，则实数取值范围是，，解析，所以在，上，也即在，上单调递增，由得，又是偶函数，所以，所以，此不等式在，时恒成立，则，解得点评注意偶函数性质应用要求参数取值范围，就要列关于参数不等式组，因而利用函数单调性奇偶性化“抽象不等式”为“具体代数不等式”利用函数奇偶性求解函数解析式，抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上解析式，或充分利用奇偶性得出关于方程，从而可得解析式根据奇函数偶函数图象对称性，作原点或轴侧图象，另侧图象可由对称得到三周期函数判断及简单应用例已知函数周期为，当，时，那么函数图象与函数图象交点共有个个个个解析由函数周期为，又当，时，，，在同坐标系中分别作出这两个函数图象，如图，可找到交点共有个点评本题考查根存在性及根个数判断，解决本题关键是正确画出这两个函数图象例已知函数定义域为，且满足求证是周期函数若为奇函数，且当时在，上求使所有个数解析