交椭圆于，两点，射线交椭圆于点求值求面积最大值解析由题意知又，解得，所以椭圆方程为由知椭圆方程为设由题意知，因为，又，即，所以，即设，将代入椭圆方程，可得，由，可得则有，所以因为直线与轴交点坐标为所以面积设将代入椭圆方程，可得，由，可得由推理加以证明直线过定点问题，常用直线系知识来解决二最值与范围问题例如图，直线与抛物线交于，两点，线段垂直平分线与直线交于点求点坐标当为抛物线上位于线段下方含，动点时，求面积最大值解析解方程组得，即从而得中点为，由，知线段垂直平分线方程为，令，得直线方程为，设，点到直线距离为抛物线上位于线段下方点，且不在直线上或函数在区间，上是增函数，当时，面积取到最大值三圆锥曲线综合问题例如图，已知抛物线准线为，焦点为，圆圆心在轴正半轴上，圆与轴相切，过原点作倾斜角为直线，交直线于点，交圆于不同两点且求圆和抛物线方程若为抛物线上动点，求最小值过直线上动点向圆作切线，切点分别为求证直线恒过个定点，并求该定点坐标解析易得设圆方程为，将点，代入圆方程得，圆方程为在准线上，抛物线方程为由得，设点则又点在抛物线上即最小值为设点则，以为圆心，为半径圆方程为，即，又圆方程为，即，由两式相减即得直线方程，显然直线恒过定点，点评本题综合考查了直线圆抛物线标准方程与几何性质，以及数形结合思想化归思想和分类讨论思想，其中直线与圆锥曲线相交问题般联立方程，设而不求，并借助根判别式及根与系数关系进行转化备选题例过轴上动点，引抛物线两条切线，为切点，设切线斜率分别为和求证求证直线恒过定点，并求出此定点坐标解析设过，与抛物线相切直线斜率是，则该切线方程为，由得则，都是方程解，故法设，故切线斜率是，方程是又，所以方程可化为，切线斜率是，方程是又，所以方程可化为，由于点在上，则，又由于点在上，则，则直线方程是，则直线过定点，法设所以，直线，即，由知，所以，直线方程是，则直线过定点，点评与圆锥曲线有关定点问题探求，般途径是恰当引入参变量，将题设转化为坐标关系式，然后通过分析参变量取符合题设条件任何个值时，坐标关系式恒成立条件，而获得定点坐标有关直线与圆锥曲线最值问题，它将解析几何知识与函数知识融为体，综合性强解答这类问题般有两种方法，代数法与几何法由于解析几何最值问题是从动态角度去研究数学问题，常常以解析几何内容为载体，综合函数不等式三角等知识，涉及知识点较多，可以充分体现在知识交汇点处命题思想，因而是高考重点和热点处理最值问题时要注意自变量取值范围题设中几何特征曲线过定点问题般利用曲线系知识来求解山东平面直角坐标系中，已知椭圆离心率为，且点，在椭圆上求椭圆方程设椭圆，为椭圆上任意点，过点直线交椭圆于，两点，射线交椭圆于点求值求面积最大值解析由题意知又，解得，所以椭圆方程为由知椭圆方程为设由题意知，因为，又，即，所以，即设，将代入椭圆方程，可得，由，可得则有，所以因为直线与轴交点坐标为所以面积设将代入椭圆方程，可得，由，可得由与轴交点坐标为所以面积设将代入椭圆方程，可得，由，可得由可知，因此故，当且仅当，即时取得最大值由知，面积为，所以面积最大值为已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点解析因为动圆圆心在抛物线上，且是抛物线准线，所以由抛物线定义知，动圆定过抛物线焦点，已知点为抛物线焦点，点是抛物线上动点，则最小值为解析设抛物线上点到准线距离为，由题意可得，所以，当点与点在垂直于准线同条直线上时值最小，最小值为已知是抛物线上个动点，是圆上个动点是个定点，则最小值为解析恰好为抛物线焦点，等于到准线距离，要想最小，过圆心，作抛物线准线垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心，到准线距离减去半径，即过点，作斜率为直线与双曲线交于，两点，线段中点为，为坐标原点，斜率为，则等于解析直线方程为代入，得，所以⇒，即线段中点横坐标为，则纵坐标为，⇒抛物线与直线最近距离为解析解法抛物线上点，到直线距离解法二设与平行切线，代入抛物线方程得，最近距离已知动点，在椭圆上，若点坐标为，且，则最小值是解析如图所示，由可得点轨迹为以点，为圆心，为半径圆又由，可得⊥，要求最小值，只要求最小值而，如图，过点，动直线与抛物线交于，两点求证已知点直线交抛物线于另外点试问直线是否经过个定点若是，求出该定点坐标若不是，请说明理由解析证明由已知得直线斜率必存在，设直线方程为，由得，又是直线与抛物线两个交点，设又且三点共线化简得由知将代入式并化简得，即直线斜率为，直线方程为，即又，直线方程可化为当时，直线经过个定点，这个定点坐标为，如图，设，是抛物线上相异两点到轴距离积为，且求该抛物线标准方程过直线与抛物线另交点为，与轴交点为，且为线段中点，试求弦长度最小值解析，则，又，在抛物线上，故故得则，又，故得，抛物线方程为设直线过点，且方程为联立方程组消去得，设直线与轴交于点则可设直线方程为，并设同理可知，由可得由题意，为线段中点又由知代入，可得，故当，即直线垂直于轴时，取得最小值推理加以证明直线过定点问题，常用直线系知识来解决二最值与范围问题例如图，直线与抛物线交于，两点，线段垂直平分线与直线交于点求点坐标当为抛物线上位于线段下方含，动点时，求面积最大值解析解方程组得，即从而得中点为，由，知线段垂直平分线方程为，令，得直线方程为，设，点到直线距离为抛物线上位于线段下方点，且不在直线上或函数在区间，上是增函数，当时，面积取到最大值三第讲最值问题与定值问题学习目标掌握与圆锥曲线有关定点问题定值问题求解方法会运用代数三角几何等方法求解析几何中有关最值问题范围问题，与定点定值有关圆锥曲线综合问题基础检测已知，则不论取何值，曲线恒过定点解析由，得依题设，即，可知不论取何值，曲线恒过定点，若是过椭圆中心条弦，是椭圆上任意点，且与两坐标轴均不平行，分别表示直线斜率，则解析解法直接法设则解法二特殊值法因为四个选项为确定值，取可得已知点是抛物线上点，设点到抛物线准线距离为，到圆上动点距离为，则最小值是解析由题意点在抛物线上故当三点共线时取最小值，由圆外点到圆上点距离最值在这点与圆心连线与圆交点处取得最小值为已知为抛物线焦点，点在该抛物线上且位于轴两侧，且为坐标原点，则与面积之和最小值为解析设直线方程为，点直线与轴交点为将直线方程与抛物线方程联立，可得，根据韦达定理有，因为，所以，从而，因为点，位于轴两侧，所以，故，不妨令点在轴上方，则，又所以，当且仅当，即时取等号，故其最小值为，所以选知识要点解析几何定值问题解析几何定值包括几何量定值和曲线系过定点等问题，处理时可以直接计算推理求出定值，也可先通过特定位置猜测结论后再进行般性证明对于客观题，通过特值法探求定值，更能达到事半功倍效果求解圆锥曲线有关最值问题思路建立函数关系，转化为求函数最值利用圆锥曲线定义与几何性质或问题几何背景，化归为直接求几何量最值在求解最值问题时，常用方法有配方法基本不等式法三角法参数法数形结合等在处理最值问题时，要注意自变量取值范围及题设几何特征定点定值问题例如图，已知椭圆上下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，设直线斜率分别为，求证为定值当点运动时，以为直径圆是否经过定点请证明你结论解析令则由题设可知，直线斜率，斜率，又点在椭圆上，所以，，从而有设点，是以为直径圆上任意点，则，又易求得，，所以，故有又，化简后得到以为直径圆方程为令，解得或所以以为直径圆恒过定点，或，点评解决这类直线过定点或证明些量定值问题方法有两种，是研究般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，但这种方法难度大，运算量大，且思路不好找另种方法就是先用特殊情况确定定点或定值再针对般情况，通过计算与推理加以证明直线过定点问题，常用直线系知识来解决二最值与范围问题例如图，直线与抛物线交于，两点，线段垂直平分线与直线交于点求点坐标当为抛物线上位于线段下方含，动点时，求面积最大值解析解方程组得，即从而得中点为，由，知线段垂直平分线方程为，令，得直线方程为，设，点到直线距离为抛物线上位于线段下方点，且不在直线上或函数在区间，上是增函数，当时，面积取到最大值三圆锥曲线综合问题例如图，已知抛物线准线为，焦点为，圆圆心在轴正半轴上，圆与轴相切，过原点作倾斜角为直线，交直线于点，交圆于不同两点且求圆和抛物线方程若为抛物线上动点，求最小值过直线上动点向圆作切线，切点分别为求证直线恒过个定点，并求该定点坐标解析易得设圆方程为，将点，代入圆方程得，圆方程为在准线上，抛物线方程为由得，设点则又点在抛物线上即最小值为设点则，以为圆心，为半径圆方程为，即，又圆方程为，即，由两式相减即得直线方程，显然直线恒过定点，点评本题综合考查了直线圆抛物线标准方程与几何性质，以及数形结合思想化归思想和分类讨论思想，其中直线与圆锥曲线相交问题般联立方程，设而不求，并借助根判别式及根与系数关系进行转化备选题例过轴上动点，引抛物线两条切线，为切点，设