垂足为起点两个向量，则这两个向量夹角大小就是二面角大小求点到平面距离三种方法作点到面垂线，点到垂足距离即为点到平面距离在三棱锥中用等体积法求解向量法为平面法向量，为平面内点，为过点斜线段撬题对点题必刷题如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，证明⊥平面求二面角大小正解同上以为原点，建立如图所示空间直角坐标系由题意知各点坐标如下设平面法向量为，平面法向量为，可算得由得，可取运算命题法利用空间向量计算角和距离典例如图，在底面是矩形四棱锥中，⊥平面，是中点求点到平面距离求二面角余弦值解如图，以为原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，则依题意可知设平面个法向量为，则即解得所以平面单位法向量为，所以，则点到平面距离为由可得，易知平面个法向量为设平面个法向量为，又则即，⇒所以平面个法向量为设二面角大小为，则结合图形可知二面角余弦值为解题法向量法求空间角和距离方法向量法求异面直线所成角时应注意问题当异面直线方向向量夹角为锐角或直角时，那么这个锐角或直角就是该异面直线所成角当异面直线方向向量夹角为钝角时，那么这个钝角补角才是异面直线所成角利用向量法求线面角方法分别求出斜线和它在平面内射影直线方向向量，转化为求两个方向向量夹角锐角或直角时或其补角钝角时通过平面法向量来求，即求出斜线方向向量与平面法向量所夹锐角或钝角补角，取其余角就是斜线与平面所成角向量法求二面角大小两种方法分别求出二面角两个面所在平面法向量，然后通过两个平面法向量夹角得到二面角大小，但要注意结合实际图形判断所求角大小分别在二面角两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点两个向量，则这两个向量夹角大小就是二面角大小求点到平面距离三种方法作点到面垂线，点到垂足距离即为点到平面距离在三棱锥中用等体积法求解向量法为平面法向量，为平面内点，为过点斜线段撬题对点题必刷题如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，证明⊥平面求二面角大小正解同上以为原点，建立如图所示空间直角坐标系由题意知各点坐标如下设平面法向量为，平面法向量为，可算得由得，可取解析如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，设棱长为，则，，设与平面所成角为，为平面法向量则，撬法命题法解题法考法综述利用空间向量计算角和距离，首先要选取适当坐标系，然后将所求角或距离转化为些向量夹角或坐标运算，尤其是直线方向向量和平面法向量相关运算命题法利用空间向量计算角和距离典例如图，在底面是矩形四棱锥中，⊥平面，是中点求点到平面距离求二面角余弦值解如图，以为原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，则依题意可知设平面个法向量为，则即解得所以平面单位法向量为，所以，则点到平面距离为由可得，易知平面个法向量为设平面个法向量为，又则即，⇒所以平面个法向量为设二面角大小为，则结合图形可知二面角余弦值为解题法向量法求空间角和距离方法向量法求异面直线所成角时应注意问题当异面直线方向向量夹角为锐角或直角时，那么这个锐角或直角就是该异面直线所成角当异面直线方向向量夹角为钝角时，那么这个钝角补角才是异面直线所成角利用向量法求线面角方法分别求出斜线和它在平面内射影直线方向向量，转化为求两个方向向量夹角锐角或直角时或其补角钝角时通过平面法向量来求，即求出斜线方向向量与平面法向量所夹锐角或钝角补角，取其余角就是斜线与平面所成角向量法求二面角大小两种方法分别求出二面角两个面所在平面法向量，然后通过两个平面法向量夹角得到二面角大小，但要注意结合实际图形判断所求角大小分别在二面角两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点两个向量，则这两个向量夹角大小就是二面角大小求点到平面距离三种方法作点到面垂线，点到垂足距离即为点到平面距离在三棱锥中用等体积法求解向量法为平面法向量，为平面内点，为过点斜线段撬题对点题必刷题如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，证明⊥平面求二面角大小正解同上以为原点，建立如图所示空间直角坐标系由题意知各点坐标如下设平面法向量为，平面法向量为，可算得由得，可取由得可取于是，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角大小是错解错因分析本题易出错地方是误以为两个平面法向量所成角大小等于所求二面角大小，在计算时对两个平面法向量所成角和二面角关系判断错误，导致计算结果出错心得体会运算命题法利用空间向量计算角和距离典例如图，在底面是矩形四棱锥中，⊥平面，是中点求点到平面距离求二面角余弦值解如图，以为原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，则依题意可知设平面个法向量为，则即解得所以平面单位法向量为，所以，则点到平面距离为由可得，易知平面个法向量为设平面个法向量为第八章立体几何第讲空间向量与立体几何考点二利用空间向量求空间角与距离撬点基础点重难点求两条异面直线所成角设，分别是两异面直线，方向向量，则与所成角与夹角，范围求法求直线与平面所成角设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成角为，则，二面角平面角求法设，分别是二面角两个面，法向量，则向量与夹角或其补角大小就是二面角平面角大小如图点到平面距离向量求法如图，设为平面条斜线段，为平面法向量，则点到平面距离注意点二面角大小与两法向量夹角关系求出两平面法向量夹角后，定要根据图形来判断二面角大小与两法向量夹角关系是相等还是互补思维辨析两直线方向向量所成角就是两条直线所成角直线方向向量和平面法向量所成角就是直线与平面所成角两个平面法向量所成角是这两个平面所成角两异面直线夹角范围是直线与平面所成角范围是二面角范围是，如图所示，在棱长为正方体中，是底面中心，分别是中点，那么异面直线和所成角余弦值等于解析本题考查空间向量运算设正方体棱长为，建立如右图所示坐标系，已知正三棱柱侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角正弦值等于解析如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，设棱长为，则，，设与平面所成角为，为平面法向量则，撬法命题法解题法考法综述利用空间向量计算角和距离，首先要选取适当坐标系，然后将所求角或距离转化为些向量夹角或坐标运算，尤其是直线方向向量和平面法向量相关运算命题法利用空间向量计算角和距离典例如图，在底面是矩形四棱锥中，⊥平面，是中点求点到平面距离求二面角余弦值解如图，以为原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，则依题意可知设平面个法向量为，则即解得所以平面单位法向量为，所以，则点到平面距离为由可得，易知平面个法向量为设平面个法向量为，又则即，⇒所以平面个法向量为设二面角大小为，则结合图形可知二面角余弦值为解题法向量法求空间角和距离方法向量法求异面直线所成角时应注意问题当异面直线方向向量夹角为锐角或直角时，那么这个锐角或直角就是该异面直线所成角当异面直线方向向量夹角为钝角时，那么这个钝角补角才是异面直线所成角利用向量法求线面角方法分别求出