使问题求解清晰直观整体展现命题法利用导数求解实际生活中优化问题典例企业拟建造如图所示容器不计厚度，长度单位米，其中容器中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器容积为立方米，且假设该容器建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器建造费用为千元写出关于函数表达式，并求该函数定义域求该容器建造费用最小时解设容器容积为，由题意知，又，故由于，因此，整理得，故所以建造费用因此由得所以数在，上无极值点当，所以，，且，时此时在，上有唯极小值点当时，在，上都大于，在，上小于，此时有个极大值点和个极小值点综上可知，当时，在，上有唯极小值点当，所以当，时，有，即，所以对任意正整数，取，可得恒成立解题法利用导数证明不等式方法证明或，可通过构造函数，将上述不等式转化为求证或，从而利用求最小值或最大值来证明不等式关于恒成立问题可以转化为求函数最值般地，恒成立，只需即可恒成立，只需即可命题法利用导数研究函数零点问题典例设函数当时，求函数单调区间设，若对于任意给定方程在，内有两个不同根，求实数取值范围解函数定义域为，，当时，方程有两个根所以当,时，函数在区间,上单调递增当，时，函数在区间，上单调递减故函数在区间,上单调递增，在区间，上单调递减，所以当,时，函数在区间,上单调递增当，时且由，得，解得因为为方程根，所以，即故由，得，得，整理得设则，所以函数在区间，上单调递增，而，所以不等式解为又函数在，上单调递增，所以显然，所以，故实数取值范围为，解题法利用导数研究零点问题方法利用导数研究方程根函数零点图象交点问题常用方法为通过导数研究函数单调性最值变化趋势等，根据题目要求得出图象走势规律，通过数形结合思想分析问题，使问题求解清晰直观整体展现命题法利用导数求解实际生活中优化问题典例企业拟建造如图所示容器不计厚度，长度单位米，其中容器中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器容积为立方米，且假设该容器建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器建造费用为千元写出关于函数表达式，并求该函数定义域求该容器建造费用最小时解设容器容积为，由题意知，又，故由于，因此，整理得，故所以建造费用因此由得所以，函数在区间，上单调递减故函数在区间,上单调递增，在区间，上单调递减，所以当,时，函数在区间,上单调递增当，时且由，得，解得因为为方程根，所以，即故由，得，得，整理得设则，所以函数在区间，上单调递增，而，所以不等式解为又函数在，上单调递增，所以显然，所以，故实数取值范围为，解题法利用导数研究零点问题方法利用导数研究方程根函数零点图象交点问题常用方法为通过导数研究函数单调性最值变化趋势等，根据题目要求得出图象走势规律，通过数形结合思想分析问题，使问题求解清晰直观整体展现命题法利用导数求解实际生活中优化问题典例企业拟建造如图所示容器不计厚度，长度单位米，其中容器中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器容积为立方米，且假设该容器建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器建造费用为千元写出关于函数表达式，并求该函数定义域求该容器建造费用最小时解设容器容积为，由题意知，又，故由于，因此，整理得，故所以建造费用因此由得所以，当时，令，则，所以当时，当时当，时，所以是函数极小值点，也是最小值点解题法利用导数解决实际生活中优化问题方法分析实际问题中各变量之间关系，建立实际问题数学模型，写出相应函数关系式求导数，解方程判断使点是极大值点还是极小值点确定函数最大值或最小值，还原到实际问题中作答般地，对于实际问题，若函数在给定定义域内只有个极值点，那么该点也是最值点当，即时，建造费用最小时已知二次函数，满足，且最小值是求解析式设函数，若函数在区间，上是单调函数，求实数取值范围正解因为二次函数满足，所以其对称轴为又最小值是，故因为，所以，故因为，所以，所以单调递增区间为，和，，单调递减区间为，根据题意，得解得故实数取值范围是，错解错因分析求函数单调区间就是解导数大于零或小于零不等式，受此思维定式影响，容易认为导函数在区间，上大于零或小于零，而忽视了导函数在区间，上个别点处可以等于零，这样点不影响函数单调性心得体会数在，上无极值点当，所以，，且，时此时在，上有唯极小值点当时，在，上都大于，在，上小于，此时有个极大值点和个极小值点综上可知，当时，在，上有唯极小值点当，所以当，时，有，即，所以对任意正整数，取，可得恒成立解题法利用导数证明不等式方法证明或，可通过构造函数，将上述不等式转化为求证或第三章导数及其应用第讲导数应用考点三导数综合应用撬点基础点重难点利用导数证明不等式常用技巧利用给定函数些性质，如函数单调性最值极值等，服务于所要证明不等式当给出不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证根据不等式结构特征构造函数，利用函数最值进行求证，构造函数方法较为灵活，要结合具体问题，平时要多积累其般步骤为构造可导函数研究其单调性求最值得出不等关系整理得出所证明结论导数在研究函数零点中作用研究函数图象交点方程根函数零点归根到底是研究函数性质，如单调性极值等用导数研究函数零点，方面用导数判断函数单调性，借助零点存在性定理判断另方面，也可将零点问题转化为函数图象交点问题，利用数形结合来解决利用导数求解实际问题中优化问题生活中求利润最大用料最省效率最高等问题称之为优化问题导数是解决生活中优化问题有力工具，用导数解决优化问题基本思路是优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题答案利用导数解决实际应用问题般有如下几类给出了具体函数关系式，只需研究这个函数性质即可函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数性质没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数性质注意点函数定义域重要性在函数综合应用中，不论是研究函数性质，还是构造函数，还是建立新函数关系时，都要正确求出函数定义域，再利用导数求解思维辨析恒成立，可转化为恒成立对任意，恒成立，则若函数与图象有个交点，则有个零点在区间，上，与大小关系是解析构造函数，则且不恒等于，故函数在，上单调递减，所以，故已知函数讨论函数单调性，并求其最值若对任意，，有，单调递增，所以最小值为，无最大值由知，若，则当时，原不等式不成立若时设，那么若，则在，上单调递增，最小值大于，因而恒成立若，则当，时单调递减，原不等式不成立综上所述，实数取值范围为，撬法命题法解题法考法综述函数与导数压轴试题，在每年高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个是围绕函数性质考查函数奇偶性单调性周期性极值最值，曲线切线等问题展开，二是围绕函数与方程不等式命制探索方程根个数不等式证明不等式恒成立等问题展开此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在今后备考中不可小视命题法利用导数证明不等式问题典例设函数，其中当时，判断函数在定义域上单调性求函数极值点当时，试证明对任意正整数，不等式都成立解函数定义域为，令，则，由，得在，上恒成立，所以即当时，函数在定义域，上单调递增由知，当时，函数无极值点当时，，因为当，时，，时，所以当时，函数在，上无极值点当，所以，，且，时此时在，上有唯极小值点当时，在，上都大于，在，上小于，此时有个极大值点和个极小值点综上可知，当时，在，上有唯极小值点当，所以当，时，有，即，所以对任意正整数，取，可得恒成立解题法利用导数证明不等式方法证明或，可通过构造函数，将上述不等式转化为求证或，从而利用求最小值或最大值来证明不等式关于恒成立问题可以转化为求函数最值般地，恒成立，只需即可恒成立，只需即可命题法利