为证明因为直线与平行，所以，于是故由点在椭圆上知，从而同理因此又由知所以因此是定值解题法与圆锥曲线有关定点定值问题解法求定值问题常见方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值定点问题常见解法直线与相交于，两点，且线段被直线平分求椭圆方程求面积取最大值时直线方程解设椭圆左焦点为则由题意得得，所以椭圆方程为设线段中点为当直线与轴垂直时，直线方程为，与不过原点条件不符，舍去故可设直线方程为，由，消去，整理得，则，，所以线段中点，因为在直线上，所以，得舍去或此时方程为，则，，所以设点到直线距离为，则设面积为，则其中，令，，所以当且仅当时，取到最大值故当且仅当时，取到最大值综上，所求直线方程为解题法圆锥曲线中最值与范围问题解法几何法若题目条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决代数法若题目条件和结论能体现种明确函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑利用判别式来构造不等关系，从而确定参数取值范围利用已知参数范围，求新参数范围，解这类问题关键是在两个参数之间建立等量关系利用隐含或已知不等关系建立不等式，从而求出参数取值范围利用基本不等式求出参数取值范围利用函数值域求法，确定参数取值范围命题法与圆锥曲线有关定点定值问题典例如图，在平面直角坐标系中，椭圆左右焦点分别为,已知，和，都在椭圆上，其中为椭圆离心率求椭圆方程设，是椭圆上位于轴上方两点，且直线与直线平行，与交于点若，求直线斜率求证是定值解由题设知，由点，在椭圆上，得，解得，于是又点，在椭圆上，所以，即，解得因此所求椭圆方程是由知,又直线与平行，所以可设直线方程为，直线方程为设由，得，解得，故同理，由求得，解得，注意到，故所以直线斜率为证明因为直线与平行，所以，于是故由点在椭圆上知，从而同理因此又由知所以因此是定值解题法与圆锥曲线有关定点定值问题解法求定值问题常见方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值定点问题常见解法因此又由知所以因此是定值解题法与圆锥曲线有关定点定值问题解法求定值问题常见方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值定点问题常见解法假设定点坐标，根据题意选择参数，建立个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到个关于定点坐标方程组，以这个方程组解为坐标点即所求定点从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意命题法圆锥曲线中存在性探索性问题典例如图，椭圆离心率为，轴被曲线截得线段长等于长半轴长求，方程设与轴交点为，过坐标原点直线与相交于点直线，分别与相交于点，证明⊥记，面积分别为，问是否存在直线，使得请说明理由解由题意知，从而，又，解得，故，方程分别为，证明由题意知，直线斜率存在，设为，则直线方程为由，得设则，是上述方程两个实根，于是，又点坐标为所以故⊥，即⊥设直线斜率为，则直线方程为由解得，或，则点坐标为，又直线斜率为，同理可得点坐标为，于是由，得，解得，或则点坐标为，又直线斜率为，同理可得点坐标为，于是因此由题意知，解得或又由点，坐标可知所以故满足条件直线存在，且有两条，其方程分别为和解题法存在性问题求解方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件元素点直线曲线或参数存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数方程组，若方程组有实数解，则元素点直线曲线或参数存在否则，元素点直线曲线或参数不存在反证法与验证法也是求解存在性问题常用方法已知中心在原点，焦点在轴上椭圆离心率为，且经过点，求椭圆方程是否存在过点,直线与椭圆相交于不同两点满足若存在，求出直线方程若不存在，请说明理由正解同上假设存在直线且由题意得斜率存在，设满足条件直线方程为，代入椭圆方程得，因为直线与椭圆相交于不同两点设，两点坐标分别为所以，所以又因为，即，所以即所以，解得因为，所以于是存在直线满足条件，其方程为错解错因分析本题条件中直线与椭圆相交于不同两点易被忽略，从而导致结果产生增解心得体会直线与相交于，两点，且线段被直线平分求椭圆方程求面积取最大值时直线方程解设椭圆左焦点为则由题意得得，所以椭圆方程为设线段中点为当直线与轴垂直时，直线方程为，与不过原点条件不符，舍去故可设直线方程为，由，消去，整理得，则，，所以线段中点，因为在直线上，所以，得舍去或此时方程为，则，，所以设点到直线第十章圆锥曲线与方程第讲圆锥曲线综合应用考点二圆锥曲线综合应用撬点基础点重难点圆锥曲线最值与范围问题圆锥曲线上本身存在最值问题椭圆上两点间最大距离为双曲线上不同支两点间最小距离为椭圆焦半径取值范围为，与分别表示椭圆焦点到椭圆上点最小距离与最大距离抛物线上点中与抛物线准线距离最近圆锥曲线上点到定点距离最值问题，常用两点间距离公式转化为区间上二次函数最值问题解决，有时也用圆锥曲线参数方程，化为三角函数最值问题或用三角形两边之和或差与第三边不等关系求解长轴长实轴长，顶点圆锥曲线上点到定直线距离最值问题解法同上或用平行切线法点在圆锥曲线上非线性约束条件条件下，求相关式子目标函数取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数最值问题，或根据平面几何知识或引入个参数有几何意义化为函数进行处理由直线系和圆锥曲线系位置关系，求直线或圆锥曲线中个参数系数范围问题，常把所求参数作为函数，另个元作为自变量求解实际应用问题，解这类题目时，首先要解决以下两个问题选择适当坐标系将实际问题中条件借助坐标系用数学语言表达出来其次，根据需要将最值问题化为个函数最值问题圆锥曲线中定值与定点问题是高考常考题型，运算量较大，解题思维性较强解决定点问题关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间相互关系解决圆锥曲线中定值问题基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来不变量，那么就可以用变化量表示问题中直线方程数量积比例关系等，其不受变化量所影响个值就是要求定值解决这类问题关键就是引进参数表示直线方程数量积比例关系等，根据等式恒成立数式变换等寻找不受参数影响量探索性问题是指结论或者条件不完备试题，这类试题不给出确定结论，让考生根据题目条件进行分析判断作出确定结论这类试题对考生分析问题解决问题能力有较高要求，是高考压轴类热点题型有关直线与圆锥曲线位置关系存在性问题，般是先假设存在满足题意元素，经过推理论证，如果得到可以成立结果，就可作出存在结论若得到与已知条件定义公理定理性质相矛盾量，则说明假设不存在注意点圆锥曲线问题中判别式重要性在圆锥曲线求最值或取值范围时，我们常常利用判别式构造不等关系确定些参数取值在圆锥曲线存在性探索性问题中，当得出结论后，往往需要代入判别式进行检验思维辨析双曲线上点到焦距点距离取值范围是，椭圆上定存在点，使过抛物线焦点且垂直于其对称轴弦长为以抛物线上点为圆心，以为半径圆与抛物线准线必相切已知是双曲线焦点，是双曲线条渐近线，离心率等于椭圆与双曲线焦点相同，是椭圆与双曲线个公共点，设，则且且解析由题意易得，双曲线方程为，椭圆方程为，不妨设，从而可知，⇒，⇒，设椭圆焦点为，若椭圆上存在点，使⊥，则椭圆离心率最小值为解析由于椭圆上存在点，使⊥，则，即，得，则椭圆离心率最小值为撬法命题法解题法考法综述与圆锥曲线有关最值与取值范围问题是历年高考个热点，由于所涉及知识面广，题目多变，般需要通过数形结合或利用函数方程思想来求解，试题难度较大存在性问题是种具有开放性和发散性问题，此类题目条件和结论不完备，要求学生结合已有条件进行观察分析比较和概括，它对数学思想数学意识及综合运用数学方法能力有较高要求，尤其对定点定值定直线问题探索是高考热点，试题难度较大命题法与圆锥曲线有关最值范围问题典例如图，椭圆离心率为，其左焦点到点,距离为，不过原点直线与相交于，两点，且线段被直线平分求椭圆方程求面积取最大值时直线方程解设椭圆左焦点为则由题意得得，所以椭圆方程为设线段中点为当直线与轴垂直时，直线方程为，与不过原点条件不符，舍去故可设直线方程为，由，消去，整理得，则，，所以线段中点，因为在直线上，所以，得舍去或此时方程为，则，，所以设点到直线距离为，则设面积为，则其中，令，，