为等差数列法二由，，可令，得到，数列是公差为的等差数列即存在，所以法所以令，解得当时当时，故当时，数列差数列的公差为，且，由等差数列的性质，得，所以，是关于的方程的解，所以易知故通项为由知项和为，且满足，求数列的通项公式若数列满足，是否存在非零实数使得为等差数列若存在，求出的值若不存在，请说明理由解设等前项和公式法验证后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断训练西安模拟已知公差大于零的等差数列的前，规律方法等差数列的判断方法定义法对于的任意自然数，验证为同常数等差中项法验证，都成立通项公式法验证，故是首项为，公差为的等差数列解由可得，当时，当时，不适合上式故满足，求证成等差数列求数列的通项公式证明当时，由，得，所以，又，故，公差故答案考点二等差数列的判定与证明例日照实验高中模拟若数列的前项和为，且用它们表示已知和未知是常用方法训练若等差数列的前项和，且，则等于记等差数列的前项和为，若则等于解析由题意得项公式及前项和公式共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，为等差数列故可设，由，可得解得即，则答案规律方法等差数列的通列为等差数列的充要条件是其通项公式为的次函数等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数设是等差数列的前项和，若，则解析从第项起每项与它的前项的差都是常数，则这个数列是等差数列数列为等差数列的充要条件是对任意，都有等差数列的单调性是由公差决定的数，为常数等差数列的前项和的最值在等差数列中，则存在最值若则存在最值大小诊断自测判断正误在括号内打或“”若个数列若为偶数，则偶奇若为奇数，则奇偶中中间项等差数列的前项和公式与函数的关系数列是等差数列⇔数列当时，是若是等差数列，公差为，则，„，是公差为的等差数列数列，„也是等差数列递增递减常数列数列当时，是若是等差数列，公差为，则，„，是公差为的等差数列数列，„也是等差数列递增递减常数列若为偶数，则偶奇若为奇数，则奇偶中中间项等差数列的前项和公式与函数的关系数列是等差数列⇔，为常数等差数列的前项和的最值在等差数列中，则存在最值若则存在最值大小诊断自测判断正误在括号内打或“”若个数列从第项起每项与它的前项的差都是常数，则这个数列是等差数列数列为等差数列的充要条件是对任意，都有等差数列的单调性是由公差决定的数列为等差数列的充要条件是其通项公式为的次函数等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数设是等差数列的前项和，若，则解析为等差数列故可设，由，可得解得即，则答案规律方法等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法训练若等差数列的前项和，且，则等于记等差数列的前项和为，若则等于解析由题意得，故，公差故答案考点二等差数列的判定与证明例日照实验高中模拟若数列的前项和为，且满足，求证成等差数列求数列的通项公式证明当时，由，得，所以，又，故是首项为，公差为的等差数列解由可得，当时，当时，不适合上式故，规律方法等差数列的判断方法定义法对于的任意自然数，验证为同常数等差中项法验证，都成立通项公式法验证前项和公式法验证后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断训练西安模拟已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式若数列满足，是否存在非零实数使得为等差数列若存在，求出的值若不存在，请说明理由解设等差数列的公差为，且，由等差数列的性质，得，所以，是关于的方程的解，所以易知故通项为由知，所以法所以令，解得当时当时，故当时，数列为等差数列法二由，，可令，得到，数列是公差为的等差数列即存在个非零常数，使数列为等差数列第讲等差数列及其前项和最新考纲理解等差数列的概念掌握等差数列的通项公式与前项和公式能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题了解等差数列与次函数的关系知识梳理等差数列的概念如果个数列从第项起，每项与它的前项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母表示数学语言表达式，为常数，或，为常数若成等差数列，则叫做，的等差中项，且同个常数公差等差数列的通项公式与前项和公式若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为通项公式的推广，等差数列的前项和公式其中，为首项，为公差，为第项等差数列的有关性质已知数列是等差数列，是的前项和若，，则有等差数列的单调性当时，是数列当时，是数列当时，是若是等差数列，公差为，则，„，是公差为的等差数列数列，„也是等差数列递增递减常数列若为偶数，则偶奇若为奇数，则奇偶中中间项等差数列的前项和公式与函数的关系数列是等差数列⇔，为常数等差数列的前项和的最值在等差数列中，则存在最值若则存在最值大小诊断自测判断正误在括号内打或“”若个数列从第项起每项与它的前项的差都是常数，则这个数列是等差数列数列为等差数列的充要条件是对任意，都有等差数列的单调性是由公差决定的数列为等差数列的充要条件是其通项公式为的次函数等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数设是等差数列的前项和，若，则解析为等差数列得，则故选答案已知是公差为的等差数列，为的前项和若，则等于解析由，得，解得故选答案北京卷设是等差数列，下列结论中正确的是若，则若，则若，则若，则若为偶数，则偶奇若为奇数，则奇偶中中间项等差数列的前项和公式与函数的关系数列是等差数列⇔从第项起每项与它的前项的差都是常数，则这个数列是等差数列数列为等差数列的充要条件是对任意，都有等差数列的单调性是由公差决定的数为等差数列故可设，由，可得解得即，则答案规律方法等差数列的通用它们表示已知和未知是常用方法训练若等差数列的前项和，且，则等于记等差数列的前项和为，若则等于解析由题意得满足，求证成等差数列求数列的通项公式证明当时，由，得，所以，又，规律方法等差数列的判断方法定义法对于的任意自然数，验证为同常数等差中项法验证，都成立通项公式法验证项和为，且满足，求数列的通项公式若数列满足，是否存在非零实数使得为等差数列若存在，求出的值若不存在，请说明理由解设等，所以法所以令，解得当时当时，故当时，数列