究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四探究用数学归纳法证明恒等式在利用数学归纳法证明恒等式时应特别注意以下三点在利用数学归纳法由到时,有时不只增加项,并且等式的左边和右边可能增加的项数不定相同第二步中证明当成立时,定要用上当时的假设在递推步骤的证明过程中,突出两个凑字“凑”假设二“凑”结论关键是明确当时证明的目标,充分考虑用由到时,命题形式之间的区别与联系数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四典例提升用数学归纳法证明−„𝑛−𝑛𝑛𝑛„𝑛思路分析左边式子的特点为各项分母依次为,„,右边式子的特点为分母由开始,依次增大,直到,共项证明当时,左边右边,等式成立数学归纳法重难探究首页新知导学重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四点评应用数学归纳法证题时,关键是利用归纳假设证明当时的步骤,要证好这步„𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘„𝑘𝑘−𝑘当时,不等式成立由知,当,时不等式成立数学归纳法探究四证明当时,不等式成立假设当时不等式成立,即𝑘𝑘„𝑘那么当时,𝑘𝑘„𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘本题为与正整数有关的不等式,可结合不等式的性质加以变形数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三等式时,往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设,再应用放缩法或其他证明不等式的方法比较法综合法分析法等证得当时命题成立典例提升求证当,时,𝑛𝑛„𝑛思路分析成立数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四探究二用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不立,即„𝑘𝑘𝑘那么当时,左边„𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘右边所以当时,等式成立根据和,可知等式对任意都重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四证明当时,左边,右边,等式成立假设当,时,等式成究三探究四􀎥变式训练􀎥用数学归纳法证明„𝑛𝑛其中思路分析左边是个等比数列𝑛的前项和,可用求和公式,这里考虑用数学归纳法数学归纳法有项,而等式右边有项,然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探学当堂检测探究探究二探究三探究四点评理解等式的特点在等式左边,当取个值时,对应两项,即𝑛−𝑛在等式右边,当取个值时,对应项无论取何值,应保证等式左边�𝑘„𝑘𝑘𝑘右边当时等式成立根据和,可知等式对任意都成立数学归纳法重难探究首页新知导,即−„𝑘−𝑘𝑘𝑘„𝑘那么,当时,左边−„𝑘−𝑘𝑘−𝑘𝑘𝑘„𝑘𝑘−𝑘𝑘„𝑘𝑘𝑘�右边,等式成立数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四假设当时等式成立纳法证明−„𝑛−𝑛𝑛𝑛„𝑛思路分析左边式子的特点为各项分母依次为,„,右边式子的特点为分母由开始,依次增大,直到,共项证明当时,左边时,命题形式之间的区别与联系数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四典例提升用数学归的项数不定相同第二步中证明当成立时,定要用上当时的假设在递推步骤的证明过程中,突出两个凑字“凑”假设二“凑”结论关键是明确当时证明的目标,充分考虑用由到的项数不定相同第二步中证明当成立时,定要用上当时的假设在递推步骤的证明过程中,突出两个凑字“凑”假设二“凑”结论关键是明确当时证明的目标,充分考虑用由到时,命题形式之间的区别与联系数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四典例提升用数学归纳法证明−„𝑛−𝑛𝑛𝑛„𝑛思路分析左边式子的特点为各项分母依次为,„,右边式子的特点为分母由开始,依次增大,直到,共项证明当时,左边右边,等式成立数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四假设当时等式成立,即−„𝑘−𝑘𝑘𝑘„𝑘那么,当时,左边−„𝑘−𝑘𝑘−𝑘𝑘𝑘„𝑘𝑘−𝑘𝑘„𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘„𝑘𝑘𝑘右边当时等式成立根据和,可知等式对任意都成立数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四点评理解等式的特点在等式左边,当取个值时,对应两项,即𝑛−𝑛在等式右边,当取个值时,对应项无论取何值,应保证等式左边有项,而等式右边有项,然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四􀎥变式训练􀎥用数学归纳法证明„𝑛𝑛其中思路分析左边是个等比数列𝑛的前项和,可用求和公式,这里考虑用数学归纳法数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四证明当时,左边,右边,等式成立假设当,时,等式成立,即„𝑘𝑘𝑘那么当时,左边„𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘右边所以当时,等式成立根据和,可知等式对任意都成立数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四探究二用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式时,往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设,再应用放缩法或其他证明不等式的方法比较法综合法分析法等证得当时命题成立典例提升求证当,时,𝑛𝑛„𝑛思路分析本题为与正整数有关的不等式,可结合不等式的性质加以变形数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四证明当时,不等式成立假设当时不等式成立,即𝑘𝑘„𝑘那么当时,𝑘𝑘„𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘„𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘„𝑘𝑘−𝑘当时,不等式成立由知,当,时不等式成立数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四点评应用数学归纳法证题时,关键是利用归纳假设证明当时的步骤,要证好这步,须明确以下两点是要证明的结论,二是当时命题与归纳假设的区别即当时比当时增加了哪些项明确了这两点也就明确了这步的证明方向数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测􀎥变式训练􀎥已知,求证„𝑛𝑛证明当时,左边,右边,左边右边,不等式成立假设当,且时,不等式成立,即„𝑘𝑘那么当时,„𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘因为𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,所以„𝑘𝑘𝑘,所以当时,不等式成立故由知,对切,不等式成立探究探究二探究三探究四数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四探究三用数学归纳法证明几何与整除问题使用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题时,关键是找出到时的逆推关系,般方法是分析增加条与问题有关的曲线或直线后,点线段曲线段等在的基础上的变化情况,寻找递推关系使用数学归纳法证明整除性问题的常用方法是将时的式子分成两部分,部分应用归纳假设,另部分经过变形处理,确定其能被数整除,而变形的技巧是加减同项以便提取公因式数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四典例提升根据平面上三角形四边形五边形内角和探究平面上凸,边形的内角和,并证明你的结论思路分析本题考查利用数学归纳法证明平面几何问题的方法求解时先根据三角形内角和为,四边形内角和为,五边形内角和为,归纳出凸,且边形内角和为后,再用数学归纳法证明即可数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四证明由三角形内角和为,四边形内角和为,五边形内角和为,猜测凸,且边形内角和为下面用数学归纳法证明记,当时,三角形内角和,而,即命题成立假设且时,命题成立,即当时,即多个顶点时,凸边形内角和多即当时,命题也成立由知,对于时,命题成立故凸,且边形的内角和为数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四点评使用数学归纳法探究到时的变化情况,可以利用结合图形分析数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四典例提升已知求的值是否存在不小于的正整数,使得对于任意的正整数,都能被整除如果存在,求出最大的值如果不存在,请说明理由思路分析本题考查利用数学归纳法证明整除问题的方法,求解时可先由的特征,探究出正整数的值后,再用数学归纳法证明数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四解由题意,由可以猜想最大,下面用数学归纳法证明当时显然能被整除假设,时,能被整除,即能被整除数学归纳法数学归纳法首页新知导学重难探究当堂检测学习目标思维脉络能理解用数学归纳法证明问题的原理会用数学归纳法证明与正整数有关的等式及数列问题能用数学归纳法证明与有关的不等式整除问题注意总结用数学归纳法证明命题的步骤与技巧方法数学归纳法新知导学首页重难探究当堂检测数学归纳法数学归纳法是用来证明些与正整数有关的数学命题的种方法数学归纳法新知导学首页重难探究当堂检测数学归纳法证明步骤基本步骤验证当取第个值如或等时,命题成立在假设当,时命题成立的前提下,推出当时,命题成立根据可以断定命题对切从开始的正整数都成立数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立因为根据,验证了当时命题成立根据可知,当时命题成立由于当时命题成立,再根据可知,当时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当„时命题成立,即命题对任意正整数都成立数学归纳法新知导学首页重难探究当堂检测温馨提示数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的种方法,它是种完全归纳法,是对不完全归纳法的完善证明分两步,其中第步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”运用数学归纳法证明有关命题注意以下几点两个步骤缺不可在第步中,的初始值不定从取起,也不定只取个数有时需取,等,证明应视具体情况而定第二步中,证明当时,必须使用归纳假设,否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效证明当时命题成立,要明确求证的目标形式,般要凑出归纳假设里给出的形式,以便使用归纳假设,然后再去凑出当时的结论,这样就能有效减少论证的盲目性数学归纳法新知导学首页重难探究当堂检测做做用数学归纳法证明,,第步应验证解析由题意知,,所以第步应验证,故选答案数学归纳法新知导学首页重难探究当堂检测做做已知„𝑛,求证„且证明当时,左边,右边,等式成立假设时,等式成立,即„那么当时,„𝑓𝑘𝑘即时,命题成立根据和,可知结论正确数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四探究用数学归纳法证明恒等式在利用数学归纳法证明恒等式时应特别注意以下三点在利用数学归纳法由到时,有时不只增加项,并且等式的左边和右边可能增加的项数不定相同第二步中证明当成立时,定要用上当时的假设在递推步骤的证明过程中,突出两个凑字“凑”假设二“凑”结论关键是明确当时证明的目标,充分考虑用由到时,命题形式之间的区别与联系数学归纳法重难探究首页新知导学当堂检测探究探究二探究三探究四典例提升用数学归纳法证明−„𝑛−𝑛𝑛𝑛„𝑛思路分析左边式子的特点为各项分母依次为,„,右边式子的特点为分母由开始,依次增大,直到,共项证明当