表示解析因为因为，解得所以答案已知两点为坐标原点，点在第象限，且设，则解析由题意，得因为，所以，即，解得答案已知菱形的边长为，，点，分别在边上若，则的值为解析因为所以解得答案若将向量，绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则的坐标是解析如图，设则又，得，解得，舍去，故，答案，三解答题本大题共小题，共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分已知是同平面内的三个向量，其中，若，且，求的坐标若，且与垂直，求与的夹角解由得，又，所以又因为，所以，所以，或，因为与垂直，所以，即，将，代入，得所以，又由得，即与的夹角为本小题满分分在平面直角坐标系中，已知点，求，及设实数满足⊥，求的值解因为，所以因为⊥，所以，即，因为所以，所以本小题满分分已知向量满足条件，求证是正三角形证明因为，所以，所以，所以，所以，又，所以所以同理可得故是等边三角形本小题满分分已知正方形，分别是的中点，交于点求证⊥证明如图建立直角坐标系，其中为原点，不妨设，则，因为，所以⊥，即⊥设则因为，所以，即同理，由，得，代入解得，所以，即，所以，所以，即本小题满分分如图，设点，是线段的三等分点，若试用，表示并判断与的关系受的启示，如果点，„，是的等分点，你能得到什么结论请证明你的结论解同理结论„证明如下由可推出，所以，同理，所以又所以，„，因此有„章末优化总结，平面向量的概念与性质理解向量共线向量相等向量单位向量向量的模夹角等概念突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提关于平面向量有下列三个命题若⊥，则若，则非零向量和满足，则与的夹角为其中真命题的序号为写出所有真命题的序号解析因为⊥，所以，所以，且⇒⇒⇒⇒构成等边三角形，与的夹角应为所以真命题为答案平面向量的线性运算向量的加法减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则运算律，解决三点共线两线段平行线段相等求点的坐标等问题理解向量的有关概念如平行向量共线向量相等与相反向量平面向量基本定理单位向量等及其相应运算的几何意义，并能灵活应用基向量平行四边形法则三角形法则等，是求解有关向量线性运算问题的基础如图，在中，与相交于点，的延长线与边交于点用和分别表示和如果，求实数和的值确定点在边上的位置解由，可得，又，所以将代入，则有，即所以解得设，由，知，所以，所以解得，所以，即即点是上靠近点的三等分点平面向量的数量积求平面向量的数量积的方法有两个个是根据数量积的定义，另个是根据坐标定义法是，其中为向量，的夹角坐标法是，时利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系相交的夹角以及垂直，还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决设单位向量，若⊥，则已知两个单位向量，的夹角为若，则解析因为单位向量则若⊥，则，即由解得，所以，法因为，所以，即又因为，所以，所以法二由知向量的终点共线，在平面直角坐标系中设则，把的坐标代入，得答案平面向量的应用平面向量的应用主要体现在两个方面，是在平面几何中的应用，向量的加法运算和平行，数乘向量和相似，距离夹角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题二是在物理中的应用，主要是解决力位移速度等问题如图所示，为的中线的中点，过点作直线分别交，于点设试推断是否为定值解设则所以因为与共线，所以，即所以，消去得⇒所以为定值质量的木块在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿斜面角的光滑斜面向上滑行的距离，如图所示取分别求物体所受各力在这过程中对物体做的功在这过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系解木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如题图所示，拉力与位移方向相同，所以拉力对木块所做的功为支持力对木块所做的功为重力对物体所做的功为物体所受各力对物体做功的代数和为物体所受合外力的大小为合所以，物体所受合外力对物体所做的功为合所以，物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和相等为平面上的个定点，是该平面上不共线的三点，若，则是以为底边的等腰三角形以为底边的等腰三角形以为斜边的直角三角形以为斜边的直角三角形解析选由题意知，如图所示，其中点为线段的中点，所以⊥，即是的中垂线，所以，即为等腰三角形故选已知为单位向量与的夹角为，则在方向上的投影为解析根据定义知在方向上的投影为答案已知向量直线过点，且与向量垂直，则直分别是的中点，交于点求证⊥，所以已知点，在所在平面内，且则点，依次是的重心，外心重心，内心外心，重心外心，内心解析，所以即已知向量，若为实数，，则解析选由得，则解析选因为三点共线，所以存在实数，使，则，即的方向相同或相反，错误对，零向量是，正确对，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误对，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误故选已知三点共线，存在点，满足每小题分，共分在每个小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的下列说法正确的是共线向量的方向相同零向量是长度相等的向量叫做相等向量共线向量是在条直线上的向量解析选对，共线向量，从而，学生用书单独成册时间分钟，分数分选择题本大题共有小题，与若与的夹角为，求解由已知得由已知得，又因为所以为所求如图，平行四边形中，分别是的中点，上点使以为基底表示向量与的夹角解因为，所以因为，所以设与的夹角为，则由题意得，所以即答案设向量，满足，且求的值求量直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为解析设，为上任意点，则又，，线，所以，即为等腰三角形故选已知为单位向量与的夹角为，则在方向上的投影为解析根据定义知在方向上的投影为答案已知向角三角形解析选由题意知，如图所示，其中点为线段的中点，所以⊥，即是的中垂，是该平面上不共线的三点，若，则是以为底边的等腰三角形以为底边的等腰三角形以为斜边的直角三角形以为斜边的直外力的大小为合所以，物体所受合外力对物体所做的功为合所以，物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和相等为平面上的个定点支持力对木块所做的功为重力对物体所做的功为物体所受各力对物体做功的代数和为物体所受合体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系解木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如题图所示，拉力与位移方向相同，所以拉力对木块所做的功为体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系解木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如题图所示，拉力与位移方向相同，所以拉力对木块所做的功为支持力对木块所做的功为重力对物体所做的功为物体所受各力对物体做功的代数和为物体所受合外力的大小为合所以，物体所受合外力对物体所做的功为合所以，物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和相等为平面上的个定点，是该平面上不共线的三点，若，则是以为底边的等腰三角形以为底边的等腰三角形以为斜边的直角三角形以为斜边的直角三角形解析选由题意知，如图所示，其中点为线段的中点，所以⊥，即是的中垂线，所以，即为等腰三角形故选已知为单位向量与的夹角为，则在方向上的投影为解析根据定义知在方向上的投影为答案已知向量直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为解析设，为上任意点，则又，，由题意得，所以即答案设向量，满足，且求的值求与的夹角解因为，所以因为，所以设与的夹角为，则，又因为所以为所求如图，平行四边形中，分别是的中点，上点使以为基底表示向量与若与的夹角为，求解由已知得由已知得，从而，学生用书单独成册时间分钟，分数分选择题本大题共有小题，每小题分，共分在每个小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的下列说法正确的是共线向量的方向相同零向量是长度相等的向量叫做相等向量共线向量是在条直线上的向量解析选对，共线向量的方向相同或相反，错误对，零向量是，正确对，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误对，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误故选已知三点共线，存在点，满足，则解析选因为三点共线，所以存在实数，使，则，即，所以即已知向量，若为实数，，则解析选由得，所以已知点，在所在平面内，且则点，依次是的重心，外心重心，内心外心，重心外心，内心解析选由知，为的外心由，得，取边的中点，则，知三点共线，且，故点是的重心已知向量其中则与的夹角等于解析选设与的夹角为，所以，因为在，上是递减的，所以，故选已知等边三角形，故选已知非零向量满足，向量，的夹角为，且，则向量与的夹角为解析选因为，所以，所以，所以又，设向量与的夹角为，则，因为，所以在中是的内心，若，其中则动点的轨迹所覆盖的面积为解析选如图，因为，其中所以动点的轨迹所覆盖的区域是以，为邻边的平行四边形，则动点的轨迹所覆盖的面积，为的内切圆的半径在中，由向量的减法法则得，所以，即，由已知得，所以，所以所以，又为的内心，故到各边的距离均为，此时的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，所以，即，所以，故所求的面积二填空题本大题共小题，每小题分，共分把答案填在题中横线上已知向量若与共线，则的值为解析因为与共线，所以，解得答案如图，在四边形中，和相交于点，设若，则用向量和组装等深加工，生产满足市场要求的高档节能门窗幕墙产品。厂址本项目拟建于广东省惠州市博罗县泰美镇板桥工业区。主要原料供应嘉寓股份供应管理部每年对主要原材料供应价格质量进行比选，根据情况调整更新合格供应