二探究三探究四探究五点,到,两点的距离相等,⊥解得或所求的值为或错因分析忽视了直线与双曲线有个交点的条件,方由𝑘𝑥𝑦得设则𝑘𝑘,设为的中点,则𝑥𝑥即𝑘𝑘探究探究究四探究五探究五易错辨析易错点忽视条件中“有两个交点”的条件而致误典型例题已知直线与双曲线𝑥相交于两个不同点且轴上的点,到,两点的距离相等,求的值错解且直线与双曲线只有个公共点,则式方程只有解当,即时,式方程只有解当时,应满足,解得,故的值为或探究探究二探究三探点,求的取值范围探究探究二探究三探究四探究五解由𝑦𝑘𝑥得直线与双曲线没有公共点,则式方程无解故𝑘,𝛥𝑘𝑘或或,解得线支上,也可能两支上各有点典型例题已知直线与双曲线若直线与双曲线没有公共点,求的取值范围若直线与双曲线有两个公共点,求的取值范围若直线与双曲线只有个公共为双曲线的渐近线有个公共点,分两种情况直线是双曲线的切线,特别地,直线过双曲线个顶点,且垂直于实轴直线与双曲线的条渐近线平行,与双曲线的支有个公共点有两个公共点,可能都在双曲故答案探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五探究四直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以后的方程的二次项系数直线与双曲线的三种位置关系无公共点,此时直线有可能已知𝑐𝑐则由题意,得𝐴𝐹𝐸𝐹𝑏𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,若是钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是解析如图,由探究四探究五即所以,即所以离心率,选答案探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五已知点是双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏“两比率”离心率曲线的离心率为解析不妨取双曲线的右焦点为双曲线的渐近线为𝑏𝑎,即则焦点到渐近线的距离为𝑏𝑐𝑏𝑎,探究探究二探究三相切的必要不充分条件探究探究二探究三探究四探究五探究由双曲线标准方程求几何性质根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质,主要包括“六点”实轴端点虚轴端点焦点“四线”对称轴渐近线线与双曲线相切”的什么条件提示直线与双曲线只有个公共点时,直线可能与双曲线相切,也可能平行于渐近线直线与双曲线相切定能得到直线与双曲线只有个公共点,故直线与双曲线只有个公共点是直线与双曲线⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有个交点,称直线与双曲线相切⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离思考“直线与双曲线只有个公共点”是“直代入得当,即𝑏𝑎,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于点当,即𝑏𝑎时,离心率为,方程可表示为直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组𝑦𝑘𝑥𝑚,𝑥𝑎𝑦𝑏的解的个数进行判断代离心率为,方程可表示为直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组𝑦𝑘𝑥𝑚,𝑥𝑎𝑦𝑏的解的个数进行判断代入得当,即𝑏𝑎,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于点当,即𝑏𝑎时⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有个交点,称直线与双曲线相切⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离思考“直线与双曲线只有个公共点”是“直线与双曲线相切”的什么条件提示直线与双曲线只有个公共点时,直线可能与双曲线相切,也可能平行于渐近线直线与双曲线相切定能得到直线与双曲线只有个公共点,故直线与双曲线只有个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件探究探究二探究三探究四探究五探究由双曲线标准方程求几何性质根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质,主要包括“六点”实轴端点虚轴端点焦点“四线”对称轴渐近线“两比率”离心率曲线的离心率为解析不妨取双曲线的右焦点为双曲线的渐近线为𝑏𝑎,即则焦点到渐近线的距离为𝑏𝑐𝑏𝑎,探究探究二探究三探究四探究五即所以,即所以离心率,选答案探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五已知点是双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,若是钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是解析如图,由已知𝑐𝑐则由题意,得𝐴𝐹𝐸𝐹𝑏𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎故答案探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五探究四直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以后的方程的二次项系数直线与双曲线的三种位置关系无公共点,此时直线有可能为双曲线的渐近线有个公共点,分两种情况直线是双曲线的切线,特别地,直线过双曲线个顶点,且垂直于实轴直线与双曲线的条渐近线平行,与双曲线的支有个公共点有两个公共点,可能都在双曲线支上,也可能两支上各有点典型例题已知直线与双曲线若直线与双曲线没有公共点,求的取值范围若直线与双曲线有两个公共点,求的取值范围若直线与双曲线只有个公共点,求的取值范围探究探究二探究三探究四探究五解由𝑦𝑘𝑥得直线与双曲线没有公共点,则式方程无解故𝑘,𝛥𝑘𝑘或或,解得且直线与双曲线只有个公共点,则式方程只有解当,即时,式方程只有解当时,应满足,解得,故的值为或探究探究二探究三探究四探究五探究五易错辨析易错点忽视条件中“有两个交点”的条件而致误典型例题已知直线与双曲线𝑥相交于两个不同点且轴上的点,到,两点的距离相等,求的值错解由𝑘𝑥𝑦得设则𝑘𝑘,设为的中点,则𝑥𝑥即𝑘𝑘探究探究二探究三探究四探究五点,到,两点的距离相等,⊥解得或所求的值为或错因分析忽视了直线与双曲线有个交点的条件,方程组有个不同解,应满足𝑘双曲线的简单几何性质课程目标学习脉络掌握双曲线的范围对称性顶点离心率等几何性质了解双曲线的渐近性及渐近线的概念能区别椭圆与双曲线的性质双曲线的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程−−范围,或,或顶点轴长虚轴长,实轴长焦点焦距对称性对称轴为轴轴,对称中心为原点,离心率渐近线或或思考双曲线的离心率对开口大小有什么影响提示离心率越大,双曲线的开口越大,离心率越小,即越接近于,开口便越小思考双曲线确定,渐近线确定吗反过来呢提示当双曲线的方程确定后,其渐近线方程也就确定了反过来,确定的渐近线却对应着无数条双曲线,所以具有相同的渐近线的双曲线可设为𝑥𝑎−𝑦𝑏,,当时,焦点在轴上,当时,焦点在轴上等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,显然,它的渐近线方程为,离心率为,方程可表示为直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组𝑦𝑘𝑥𝑚,𝑥𝑎𝑦𝑏的解的个数进行判断代入得当,即𝑏𝑎,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于点当,即𝑏𝑎时⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有个交点,称直线与双曲线相切⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离思考“直线与双曲线只有个公共点”是“直线与双曲线相切”的什么条件提示直线与双曲线只有个公共点时,直线可能与双曲线相切,也可能平行于渐近线直线与双曲线相切定能得到直线与双曲线只有个公共点,故直线与双曲线只有个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件探究探究二探究三探究四探究五探究由双曲线标准方程求几何性质根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质,主要包括“六点”实轴端点虚轴端点焦点“四线”对称轴渐近线“两比率”离心率渐近线的斜率双曲线的实轴长虚轴长焦距离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关双曲线的顶点坐标虚轴端点坐标焦点坐标渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关,而且与双曲线的实轴位置轴轴有关已知双曲线的标准方程确定性质时,定要弄清方程中的,所对应的值,再利用得到,从而确定若方程不是标准形式,先化成标准方程,再确定的值典型代入得当,即𝑏𝑎,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于点当,即𝑏𝑎时,线与双曲线相切”的什么条件提示直线与双曲线只有个公共点时,直线可能与双曲线相切,也可能平行于渐近线直线与双曲线相切定能得到直线与双曲线只有个公共点,故直线与双曲线只有个公共点是直线与双曲线“两比率”离心率曲线的离心率为解析不妨取双曲线的右焦点为双曲线的渐近线为𝑏𝑎,即则焦点到渐近线的距离为𝑏𝑐𝑏𝑎,探究探究二探究三的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,若是钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是解析如图,由故答案探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究五探究四直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以后的方程的二次项系数直线与双曲线的三种位置关系无公共点,此时直线有可能线支上,也可能两支上各有点典型例题已知直线与双曲线若直线与双曲线没有公共点,求的取值范围若直线与双曲线有两个公共点,求的取值范围若直线与双曲线只有个公共且直线与双曲线只有个公共点,则式方程只有解当,即时,式方程只有解当时,应满足,解得,故的值为或探究探究二探究三探由𝑘𝑥𝑦得设则𝑘𝑘,设为的中点,则𝑥𝑥即𝑘𝑘探究探究