𝑏等应用已知三点不共线,对平面外的任点,下列条件中能确定点与点定共面的是𝑂𝑀𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶𝑂𝑀𝑂𝐴−𝑂𝐵−𝑂𝐶积的定义表达式及其变式𝑎𝑏是两个重要公式空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式,如,在上的投影𝑎𝑏件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线向量共面特别地,空间点位于平面内的充要条件是存在有序实数对使𝐴𝑃𝐴𝐶二三四空间向量的数量积空间向量的数量为平面向量的加减法,这是因为空间的任意两个向量都是共面的空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件空间向量的数乘运算,平行向量的概念向量平行的充要条件与平面向量的性质是致的利用向量共面的充要条运算空间向量可以看作是平面向量的推广,注意空间向量的三维多向性,有许多概念的定义是相同的,如模零向量单位向量相等向量相反向量空间向量的加减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则,即转化中,四边形为正方形,⊥平面,分别为,的中点求证平面求点到平面的距离本章整合二三四专题空间向量及其运算空间向量的加减问题转化成直线上点到平面的距离问题用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在个平面上任取点,将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题二三四应用四棱锥线距离用法向量求点到平面的距离已知是平面的条斜线,为平面的法向量,则到平面的距离为𝑛𝑛用法向量求直线到平面的距离首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离设二面角的平面角为,由图可知为锐角,则,即故二面角的大小为二三四专题四空间向量与距离用直线的方向向量与投影构造直角三角形求点𝑥𝑧𝑥𝑧,即𝑧,𝑥𝑦取,则故又𝐴𝑀为平面的个法向量,且𝐴𝑀,故𝑛𝐴𝑀直线与平面所成的角为二三四解设平面的法向量为,则⊥𝐴𝐸且⊥𝐴𝐵,即𝐴𝐸且𝐴𝐵,故⊥,⊥又∩,⊥平面二三四解⊥平面,𝐴𝑀为平面的个法向量𝐴𝑀𝐴𝐵𝐴�,是正方形的对角线的交点𝐴𝑀𝐸𝐶𝐶𝐵平面可以以点为原点,以过点平行于的直线为轴,分别以和所在直线为轴和轴,建立空间直角坐标系二三四设,则求证⊥平面求直线与平面所成角的大小求二面角的大小二三四证明四边形是正方形,⊥平面⊥平面,⊥图,设平面的法向量为,斜线的方向向量为,斜线与平面所成的角为,则二三四应用如图,正方形所在的平面与平面垂直,是与的交点,⊥,且求二面角的大小如图,设平面,的法向量分别为,因为两平面的法向量所成的角或其补角就等于平面,所成的锐二面角,所以二三四求斜线与平面所成的角如图求二面角的大小如图,设平面,的法向量分别为,因为两平面的法向量所成的角或其补角就等于平面,所成的锐二面角,所以二三四求斜线与平面所成的角如图,设平面的法向量为,斜线的方向向量为,斜线与平面所成的角为,则二三四应用如图,正方形所在的平面与平面垂直,是与的交点,⊥,且求证⊥平面求直线与平面所成角的大小求二面角的大小二三四证明四边形是正方形,⊥平面⊥平面,⊥平面可以以点为原点,以过点平行于的直线为轴,分别以和所在直线为轴和轴,建立空间直角坐标系二三四设,则,是正方形的对角线的交点𝐴𝑀𝐸𝐶𝐶𝐵⊥,⊥又∩,⊥平面二三四解⊥平面,𝐴𝑀为平面的个法向量𝐴𝑀𝐴𝐵𝐴𝑀直线与平面所成的角为二三四解设平面的法向量为,则⊥𝐴𝐸且⊥𝐴𝐵,即𝐴𝐸且𝐴𝐵,故𝑥𝑧𝑥𝑧,即𝑧,𝑥𝑦取,则故又𝐴𝑀为平面的个法向量,且𝐴𝑀,故𝑛设二面角的平面角为,由图可知为锐角,则,即故二面角的大小为二三四专题四空间向量与距离用直线的方向向量与投影构造直角三角形求点线距离用法向量求点到平面的距离已知是平面的条斜线,为平面的法向量,则到平面的距离为𝑛𝑛用法向量求直线到平面的距离首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上点到平面的距离问题用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在个平面上任取点,将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题二三四应用四棱锥中,四边形为正方形,⊥平面,分别为,的中点求证平面求点到平面的距离本章整合二三四专题空间向量及其运算空间向量的加减运算空间向量可以看作是平面向量的推广,注意空间向量的三维多向性,有许多概念的定义是相同的,如模零向量单位向量相等向量相反向量空间向量的加减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则,即转化为平面向量的加减法,这是因为空间的任意两个向量都是共面的空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件空间向量的数乘运算,平行向量的概念向量平行的充要条件与平面向量的性质是致的利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线向量共面特别地,空间点位于平面内的充要条件是存在有序实数对使𝐴𝑃𝐴𝐶二三四空间向量的数量积空间向量的数量积的定义表达式及其变式𝑎𝑏是两个重要公式空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式,如,在上的投影𝑎𝑏𝑏等应用已知三点不共线,对平面外的任点,下列条件中能确定点与点定共面的是𝑂𝑀𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶𝑂𝑀𝑂𝐴−𝑂𝐵−𝑂𝐶𝑂𝑀𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶𝑂𝑀𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶解析当与点共面时且,故选答案二三四应用如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,到点,的距离都等于给出以下结论𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆𝐷𝑆𝐴𝑆𝐵−𝑆𝐶−𝑆𝐷𝑆𝐴−𝑆𝐵𝑆𝐶−𝑆𝐷𝑆𝐴𝑆𝐷𝑆𝐶,其中正确结论的序号是二三四二三四解析对于,连接,交于点,𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆𝐷𝑆𝐴𝑆𝐶𝑆𝐵𝑆𝐷𝑆𝑂𝑆𝑂𝑆𝑂,故不正确对于,𝑆𝐴𝑆𝐵−𝑆𝐶−𝑆𝐷𝑆𝐴−𝑆𝐶𝑆𝐵−𝑆𝐷𝐶𝐴𝐵𝐷,故不正确对于,𝑆𝐴−𝑆𝐵𝑆𝐶−𝑆𝐷𝐵𝐴𝐷𝐶,故正确对𝑆𝐵𝑆𝐷,又,故正确二三四对于𝑆𝐴𝑆𝐶,,故不正确答案应用已知,求若且,求若且⊥,⊥,求解图,设平面的法向量为,斜线的方向向量为,斜线与平面所成的角为,则二三四应用如图,正方形所在的平面与平面垂直,是与的交点,⊥,且平面可以以点为原点,以过点平行于的直线为轴,分别以和所在直线为轴和轴,建立空间直角坐标系二三四设,则⊥,⊥又∩,⊥平面二三四解⊥平面,𝐴𝑀为平面的个法向量𝐴𝑀𝐴𝐵𝑥𝑧𝑥𝑧,即𝑧,𝑥𝑦取,则故又𝐴𝑀为平面的个法向量,且𝐴𝑀,故𝑛𝑛线距离用法向量求点到平面的距离已知是平面的条斜线,为平面的法向量,则到平面的距离为𝑛𝑛用法向量求直线到平面的距离首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离中,四边形为正方形,⊥平面,分别为,的中点求证平面求点到平面的距离本章整合二三四专题空间向量及其运算空间向量的加减为平面向量的加减法,这是因为空间的任意两个向量都是共面的空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件空间向量的数乘运算,平行向量的概念向量平行的充要条件与平面向量的性质是致的利用向量共面的充要条积的定义表达式及其变式𝑎𝑏是两个重要公式空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式,如,在上的投影𝑎𝑏