角的平面角定义在二面角的棱上任取点，如图所示，以点为垂足，在分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做取点时，可记作当棱记为时，可记作或两个半平面直线半平面和二面从条直线出发的所组成的图形叫做二面角如图叫做二面角的棱，叫做二面角的面记法，在，内，分别问题根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点提示可以是锐角直角钝角平角问题两平面形成的角可以为角吗提示可以问题两平面成角的范围是什么提示导入新知二面角定义求二面角的大小平面与平面垂直的判定二面角提出问题随手打开本书，发现每两书页之间所在的平面也形成个角度修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”活学活用如图所示，在中，⊥，⊥平面，垂直平分，且分别交，于点又通法解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点求二面角的大小的方法为作，即先作出二面角的平面角二证，即说明所作角是二面角的平面角又，为平面内的两条相交直线，⊥平面⊂平面，⊥是二面角的平面角由已知，则故所求二面角的大小为类题这两个平面的交线因而，所求二面角即为二面角，且分别为和的中点，⊥又⊥平面，⊂平面，⊥侧棱和上的点，且求过的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小解如图所示，在平面内延长和交于点，则是平面与平面的公共点于是为的体积为由题意得又三棱柱的体积，所以∶∶故平面分此棱柱所得两部分体积的比为∶二面角例已知，分别是正三棱柱的又⊂平面，所以⊥由题设知，所以，即⊥又∩，所以⊥平面又⊂平面，故平面⊥平面设棱锥垂直，根据上述问题能否是棱的中点证明平面⊥平面平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解证明由题设知⊥，⊥，∩，所以⊥平面固定条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直问题由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系提示垂直问题若要判断两平面是否思想二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是平面与平面垂直提出问题建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处的二面角半平面和内二面角的平面角直角化解疑难对于二面角及其平面角的理解二面角是个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的图所示，以点为垂足，在分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做直二面角平面角是的图所示，以点为垂足，在分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做直二面角平面角是的二面角半平面和内二面角的平面角直角化解疑难对于二面角及其平面角的理解二面角是个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是平面与平面垂直提出问题建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直问题由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系提示垂直问题若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否是棱的中点证明平面⊥平面平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解证明由题设知⊥，⊥，∩，所以⊥平面又⊂平面，所以⊥由题设知，所以，即⊥又∩，所以⊥平面又⊂平面，故平面⊥平面设棱锥的体积为由题意得又三棱柱的体积，所以∶∶故平面分此棱柱所得两部分体积的比为∶二面角例已知，分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且求过的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小解如图所示，在平面内延长和交于点，则是平面与平面的公共点于是为这两个平面的交线因而，所求二面角即为二面角，且分别为和的中点，⊥又⊥平面，⊂平面，⊥又，为平面内的两条相交直线，⊥平面⊂平面，⊥是二面角的平面角由已知，则故所求二面角的大小为类题通法解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点求二面角的大小的方法为作，即先作出二面角的平面角二证，即说明所作角是二面角的平面角三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”活学活用如图所示，在中，⊥，⊥平面，垂直平分，且分别交，于点又求二面角的大小平面与平面垂直的判定二面角提出问题随手打开本书，发现每两书页之间所在的平面也形成个角度修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度问题根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点提示可以是锐角直角钝角平角问题两平面形成的角可以为角吗提示可以问题两平面成角的范围是什么提示导入新知二面角定义从条直线出发的所组成的图形叫做二面角如图叫做二面角的棱，叫做二面角的面记法，在，内，分别取点时，可记作当棱记为时，可记作或两个半平面直线半平面和二面角的平面角定义在二面角的棱上任取点，如图所示，以点为垂足，在分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做直二面角平面角是的二面角半平面和内二面角的平面角直角化解疑难对于二面角及其平面角的理解二面角是个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是平面与平面垂直提出问题建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直问题由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系提示垂直问题若要判断两平面是否垂直的二面角半平面和内二面角的平面角直角化解疑难对于二面角及其平面角的理解二面角是个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的固定条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直问题由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系提示垂直问题若要判断两平面是否又⊂平面，所以⊥由题设知，所以，即⊥又∩，所以⊥平面又⊂平面，故平面⊥平面设棱锥侧棱和上的点，且求过的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小解如图所示，在平面内延长和交于点，则是平面与平面的公共点于是为又，为平面内的两条相交直线，⊥平面⊂平面，⊥是二面角的平面角由已知，则故所求二面角的大小为类题三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”活学活用如图所示，在中，⊥，⊥平面，垂直平分，且分别交，于点又问题根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点提示可以是锐角直角钝角平角问题两平面形成的角可以为角吗提示可以问题两平面成角的范围是什么提示导入新知二面角定义取点时，可记作当棱记为时，可记作或两个半平面直线半平面和二面