42【金识源】高中数学1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案新人教A版必修2文档

恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是图图分析图中容器内水面的高度为，水的体积为，则又图中水组成了个直四棱柱，其底面积为，高度为，则，答案圆台的两个底面半径分别为，截得这个圆台的圆锥的高为，则这个圆台的体积是分析设这个圆台的高为，画出圆台的轴截面，可得，解得，所以这个圆台的体积是答案已知个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸单位，可得这个几何体的体积是图分析该几何体是四棱锥，并且长为的条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为，底面是边长为的正方形如俯视图，所以底面积是，所以该几何体的体积是答案五拓体因此柱体锥体可以看作特殊的台体当时，台体的体积公式变为锥体的体积公式当时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体锥体的体积公式可以看作台体体积公式的特殊形式柱体和锥的体积公式，其中，分别为上下底面面积，为圆台棱台高注意不要求推导公式，也不要求记忆柱体可以看作是上下底面相同的台体，锥体可以看作是有个底面是个点的台底面面积，为高由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的由于圆台棱台是由圆锥棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台棱台，般的柱体的体积也是，其中是底面面积，为柱体的高圆锥的体积公式是为底面面积，为高，它是同底等高的圆柱的体积的棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的，即棱锥的体积为表面积的关系讨论结果棱长为的正方体的体积长方体的长宽和高分别为，其体积为底面半径为高为的圆柱的体积是，可以类比能发现三者之间的关系吗柱体锥体是否可以看作特殊的台体其体积公式是否可以看作台体体积公式的特殊形式活动让学生思考和讨论交流长方体正方体和圆柱的体积公式让学生类比圆柱圆锥和圆台的公式比较柱体锥体台体的体积公式柱体为底面积，为柱体的高锥体为底面积，为锥体的高台体，分别为上下底面积，为台体的高你，圆锥表从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来提出问题回顾长方体正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统成种形式吗并依次类比出柱体的体积几何体圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现圆柱表圆台表用的方法④圆台的侧面展开图是个扇环图，它的表面积等于上下两个底面的面积和加上侧面的面积，即图圆柱圆锥圆台侧面积的关系圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的图图圆锥的侧面展开图是个扇形图如果圆锥的底面半径为，母线长为，那么它的表面积点评将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的常柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形我们知道，圆柱的侧面展开图是个矩形图如果圆柱的底面半径为，母线长为，那么圆柱的底面面积为，侧面面积为因此，圆柱的表面积展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得其中，圆面图形求面积的方法，求立体图形的表面积棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和棱台的侧面的形状④学生思考圆台的侧面展开图的形状提示学生用动态的观点看待这个问题讨论结果正方体长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平它的表面积吗圆柱圆锥和圆台的表面积之间有什么关系活动学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的表面积如何根据圆柱圆锥的几何结构特征，求它们的表面积④联系圆柱圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗如果圆台的上下底面半径分别是母线长为，你能计算出它的表面积如何根据圆柱圆锥的几何结构特征，求它们的表面积④联系圆柱圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗如果圆台的上下底面半径分别是母线长为，你能计算出它的表面积吗圆柱圆锥和圆台的表面积之间有什么关系活动学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状④学生思考圆台的侧面展开图的形状提示学生用动态的观点看待这个问题讨论结果正方体长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形我们知道，圆柱的侧面展开图是个矩形图如果圆柱的底面半径为，母线长为，那么圆柱的底面面积为，侧面面积为因此，圆柱的表面积图图圆锥的侧面展开图是个扇形图如果圆锥的底面半径为，母线长为，那么它的表面积点评将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的常用的方法④圆台的侧面展开图是个扇环图，它的表面积等于上下两个底面的面积和加上侧面的面积，即图圆柱圆锥圆台侧面积的关系圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现圆柱表圆台表，圆锥表从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来提出问题回顾长方体正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统成种形式吗并依次类比出柱体的体积公式比较柱体锥体台体的体积公式柱体为底面积，为柱体的高锥体为底面积，为锥体的高台体，分别为上下底面积，为台体的高你能发现三者之间的关系吗柱体锥体是否可以看作特殊的台体其体积公式是否可以看作台体体积公式的特殊形式活动让学生思考和讨论交流长方体正方体和圆柱的体积公式让学生类比圆柱圆锥和圆台的表面积的关系讨论结果棱长为的正方体的体积长方体的长宽和高分别为，其体积为底面半径为高为的圆柱的体积是，可以类比，般的柱体的体积也是，其中是底面面积，为柱体的高圆锥的体积公式是为底面面积，为高，它是同底等高的圆柱的体积的棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的，即棱锥的体积为底面面积，为高由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的由于圆台棱台是由圆锥棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台棱台的体积公式，其中，分别为上下底面面积，为圆台棱台高注意不要求推导公式，也不要求记忆柱体可以看作是上下底面相同的台体，锥体可以看作是有个底面是个点的台体因此柱体锥体可以看作特殊的台体当时，台体的体积公式变为锥体的体积公式当时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体锥体的体积公式可以看作台体体积公式的特殊形式柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上下底面相同的台体，锥体可以看作是有个底面是个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如图图三应用示例思路例已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体图，求它的表面积图活动回顾几何体的表面积含义和求法分析由于四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何个面面积的倍解先求的面积，过点作⊥，交于点因为，，所以因此，四面体的表面积点评本题主要考查多面体的表面积的求法变式训练已知圆柱和圆锥的高底面的直观图，并且侧棱⊥，⊥，⊥则该三棱锥的高是，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为图答案点评本题主要考查几何体的三视图和体积给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视变式训练山东泰安高三期末统考，理若个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为图分析该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为，则底面等边三角形的边长为，所以该正三棱柱的表面积为图答案山东潍坊高三期末统考，文如果个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为个半径为的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为分析由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为答案广东高考，文已知几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图或称主视图是个底边长为高为的等腰三角形，侧视图或称左视图是个底边长为高为的等腰三角形图求该几何体的体积求该几何体的侧面积解由三视图可知该几何体是个底面边长分别为的矩形，高为的四棱锥设底面矩形为如图所示，高图设四棱锥侧面是全等的等腰三角形，侧面也是全等的等腰三角形，在中，边上的高为，在中，边上的高为所以此几何体的侧面积点评高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，是给出三视图，求其面积或体积二是与的组合体有关的面积和体积的计算三是在解答题中，作为最后问例图所示的几何体是棱长为的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打个直径为深为的圆