共线相交垂直不共面提升训练强能力图如图所示，三棱锥的棱长全相等，为的中点，则直线与所成角的余弦值为在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为对于空间任意点和不共线的三点，有∈，则是，四点共面的必要不充分条件充分不必要条件充要条件既不充分又不必要条件图如图，在长方体中，体对角线与平面相交于点，则点为的垂心内心外心重心考虑向量其中如下说以∥，所以∥平面因为，分别为，中点，所以∥，所以∥平面又因为∩所以平面∥平面方法易知⊥，又⊥，故⊥平证明因为底面，则所以解因为，分别为，中点，所以∥又因为四边形是正方形，所以∥，所时，正确④由，得，④错由知得正确解解析轴正方向上的单位向量为，因此正确，错当，由点在直线上得存在实数，使得，又点在平面上，所以⇒，即，因此点为的重心以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则因此，即，即，即，这组数显然不止故是充分不必要条件解析，则，即，所以，四点共面反之当，四点共面时，有，所以所以则异面直线与所成角的余弦值为解析当时，所以直线与所成角的余弦值为解析设正方体棱长为，以为原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以，故⊥提升训练解析设棱长为，则所以易得平面的个法向量是，单位化得解析选项中共面不定平行选项中，根据∥，∥不能得出，的关系选项中可能共面解析因为∥基础演练解析故直线，所成角的余弦值是解析故平面，所成的锐二面角的余弦值是解析沿折起，使至处，且平面⊥平面和在平面的同侧求证⊥平面求平面与平面所成的锐二面角的余弦值图专题限时集训十四值为时，求三棱锥的体积图如图所示，已知直角梯形中，∥，⊥，是边长为的等边三角形，沿将折起，使至处，且⊥，然后再将所在平面互相垂直，⊥，∥点在上，且不与，重合当点是的中点时，求证∥平面当平面与平面所成的锐二面角的余弦是的中点，求证在三棱锥中，直线与平面平行求二面角的余弦值设点是上的个动点，试确定点的位置，使得图如图所示，正方形与梯形是的中点，求证在三棱锥中，直线与平面平行求二面角的余弦值设点是上的个动点，试确定点的位置，使得图如图所示，正方形与梯形所在平面互相垂直，⊥，∥点在上，且不与，重合当点是的中点时，求证∥平面当平面与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积图如图所示，已知直角梯形中，∥，⊥，是边长为的等边三角形，沿将折起，使至处，且⊥，然后再将沿折起，使至处，且平面⊥平面和在平面的同侧求证⊥平面求平面与平面所成的锐二面角的余弦值图专题限时集训十四基础演练解析故直线，所成角的余弦值是解析故平面，所成的锐二面角的余弦值是解析易得平面的个法向量是，单位化得解析选项中共面不定平行选项中，根据∥，∥不能得出，的关系选项中可能共面解析因为∥，所以，故⊥提升训练解析设棱长为，则所以所以直线与所成角的余弦值为解析设正方体棱长为，以为原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以所以则异面直线与所成角的余弦值为解析当时则，即，所以，四点共面反之当，四点共面时，有，即，即，即，这组数显然不止故是充分不必要条件解析以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则因此由点在直线上得存在实数，使得，又点在平面上，所以⇒，即，因此点为的重心解析轴正方向上的单位向量为，因此正确，错当，时，正确④由，得，④错由知得正确解证明因为底面，则所以解因为，分别为，中点，所以∥又因为四边形是正方形，所以∥，所以∥，所以∥平面因为，分别为，中点，所以∥，所以∥平面又因为∩所以平面∥平面方法易知⊥，又⊥，故⊥平面故以为原点，为轴轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示不妨设，则，所以设是平面的法向量，则，所以，令，则即设是平面的法向量，则，所以令，则即设二面角的平面角的大小为由图可知故面角的平面角的大小为方法二设的中点为，连接则∥，又⊥平面，∥，所以⊥平面，所以⊥平面，所以⊥，⊥因为，则⊥，又∩，所以⊥平面又因为∥，所以⊥所以就是二面角的平面角的补角不妨设，则所以所以二面角的平面角的大小为，解证明因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点，又点是棱的中点，所以是的中位线，∥因为⊄平面，⊂平面，所以∥平面由题意可知，因为，所以，⊥，又因为菱形，所以⊥，⊥建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则有，即令，则所以因为⊥，⊥，所以⊥平面，平面的法向量与平行，所以平面的个法向量为，，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为设因为是线段上的个动点，所以，即，所以，则，由，得，即，解得或，所以点的坐标为或解证明以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则平面的个法向量，⊥，即∥平面依题意设设平面的法向量为，则令，则平面的个法向量为，，解得，为的中点又到平面的距离三棱锥解证明在直角梯形中，可算得，根据勾股定理可得⊥，即⊥，又⊥，∩，所以⊥平面以为原点，为轴，为轴，垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，作⊥并交于点因为平面⊥不面，易知⊥平面，且，所以，所以易知平面的法向量为设平面的法向量为又，所以令，则所以故，故所求平面与平面所构成的锐二面角的余弦值为专题限时集训十四空间向量与立体几何时间分钟分钟基础演练夯知识直线的方向向量，直线的方向向量，则直线，所成角的余弦值是平面，的法向量分别是则平面，所成锐二面角的余弦值是已知，则平面的单位法向量是已知，是两个非零的向量是两个平面，下列命题中正确的是∥的必要条件是，是共面向量，是共面向量，则∥∥，∥，则∥∥，∥，则，不是共面向量若⊥，⊥∈，∥，则与定共线相交垂直不共面提升训练强能力图如图所示，三棱锥的棱长全相等，为的中点，则直线与所成角的余弦值为在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为对于空间任意点和不共线的三点，有∈，则是，四点共面的必要不充分条件充分不必要条件充要条件既不充分又不必要条件图如图，在长方体中，体对角线与平面相交于点，则点为的垂心内心外心重心考虑向量其中如下说法中正确的有写出所有正确说法的编号向量与轴正方向的夹角恒为定值即与，值无关的最大值为的夹角的最大值为④的值可能为若定义则的最大值为如图，在四棱锥中，底面为菱形⊥底面为的中点求证⊥求平面与平面所成锐二面角的余弦值图如图所示，是以为直径的半圆上异于，的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且求证⊥若异面直线和所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值图如图，在长方体中，点在棱上移动证明⊥当为的中点时，求点到面的距离等于何值时，二面角的大小为图如图，平面为圆柱的轴截面，点为上的点，点为中点求证∥平面若求二面角的余弦值图专题限时集训十四空间向量与立体几何时间分钟分钟基础演练夯知识如图所示，三棱锥中⊥底面求证平面⊥平面若，是的中点，求与平面所成角的正切值图如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形分别为的中点求证平面∥平面求二面角的平面角的大小图提升训练强能力如图所示，已知菱形的边长为∩，将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥若是的中点，求证在三棱锥中，直线与平面平行求二面角的余弦值设点是上的个动点，试确定点的位置，使得图如图所示，正方形与梯形所在平面互相垂直，⊥，∥点在上，且不与，重合当点是的中点时，求证∥平面当平面与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积图如图所示，已知直角梯形中，∥，⊥，是边长为的等边三角形，沿将折起，使至处，且⊥，然后再将沿折起，使至处，且平面⊥平面和在平面的同侧求证⊥平面求平面与平面所成的锐二面角的余弦值图专题限时集训十四基础演练解析故直线，所成角的余弦值是解析故平面，所成的锐二面角的余弦值是解析易所在平面互相垂直，⊥，∥点在上，且不与，重合当点是的中点时，求证∥平面当平面与平面所成的锐二面角的余弦沿折起，使至处，且平面⊥平面和在平面的同侧求证⊥平面求平面与平面所成的锐二面角的余弦值图专题限时集训十四易得平面的个法向量是，单位化得解析选项中共面不定平行选项中，根据∥，∥不能得出，的关系选项中可能共面解析因为∥所以直线与所成角的余弦值为解析设正方体棱长为，以为原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，则，即，所以，四点共面反之当，四点共面时，有以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则因此解析轴正方向上的单位向量为，因此正确，错当，证明因为底面，则所以解因为，分别为，中点，所以∥又因为四边形是正方形，所以∥，所已知，是两个非零的向量是两个平面，下列命题中正确的是∥的必要条件是，是共面向量，是共面向量，则∥∥，∥，则∥∥，∥，则，不是共面向量若⊥，⊥∈，∥，则与定共线相交垂直不共面提升训练强能力图如图所示，三棱锥的棱长全相等，为的中点，则直线与所成角的余弦值为在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为对于空间任意点和不共线的三点，有∈，则是，四点共面的必要不充分条件充分不必要条