测度公理设有实数直线上的部分集合族，使得每个，都对应个实数在上定义了个实函数，满足非负性可列可加性如果两两不相交，那么正则性,问题是否每个集合都有测度内填外包法测量不规则图形的面积内填内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，即不足近似值。外包外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者，即过剩近似值。当格子越来越密时，小正方形的面积趋于，过剩和不足近似值能够趋于同个数值，这个值便是图形的面积。集合闭集取包含的那些开集的测度的下确界外测度用来填上的内部的闭集的测度的上确,该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的长度就是个点集，已经不是个区间，再如,中有理数集合的长度或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。勒贝格个，都对应个实数在上定义了个实函数使得非负性有限可加性如果两两不相交，那么正则性,方法已经是近代分析概率论及其他学科必不可少的工具。实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要的勒贝格测度与勒贝格积分理论。长度公理设有实数直线上的些点集所构成的集合族，若对于每原有的积分定义。注意到黎曼积分与长度面积体积等度量有密切的关系，所以积分概念的推广，自然要想到对中的点集给于种度量，使之成为长度面积体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。测度论的思想和测集合，且凡开集闭集皆可测。第三章测度论外测度可测集可测集类引言引言世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广集类零测集凡外测度为的集合都是可测集，称为零测集。零测集性质零测度集的任何子集都为零测度集。有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。常见可测集区间不论开闭或半开半闭区间都是可勒贝格测度性质非负性单调性设可测，且，则可列可加性设是列互不相交的可测集,可测设是列递降的可测集令，则当时，的可测集，则也是可测集，且推广设是列可测集，则，也是可测集。设是列递增的可测集令，则,设可测，则也可测。,推广设可测，则也可测。,设可测，则也可测。,设是列互不相交有,推广设可测，则也可测，并且当,对于任意集合总有,外测度即称为的测度，记为勒贝格测度运算性质集合可测对于,总有,可测可测。设可测，则也可测，并且当,对于任意集合总上确界内测度外测度可测集勒贝格测度设为中的点集，如果对任点集都有则称是可测的，这时的，即过剩近似值。当格子越来越密时，小正方形的面积趋于，过剩和不足近似值能够趋于同个数值，这个值便是图形的面积。集合闭集取包含的那些开集的测度的下确界外测度用来填上的内部的闭集的测度的,问题是否每个集合都有测度内填外包法测量不规则图形的面积内填内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，即不足近似值。外包外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者个实数在上定义了个实函数，满足非负性可列可加性如果两两不相交，那么正则性中划分之后区间的长度就是个点集，已经不是个区间，再如,中有理数集合的长度或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。勒贝格测度公理设有实数直线上的部分集合族，使得每个，都对应中划分之后区间的长度就是个点集，已经不是个区间，再如,中有理数集合的长度或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。勒贝格测度公理设有实数直线上的部分集合族，使得每个，都对应个实数在上定义了个实函数，满足非负性可列可加性如果两两不相交，那么正则性,问题是否每个集合都有测度内填外包法测量不规则图形的面积内填内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，即不足近似值。外包外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者，即过剩近似值。当格子越来越密时，小正方形的面积趋于，过剩和不足近似值能够趋于同个数值，这个值便是图形的面积。集合闭集取包含的那些开集的测度的下确界外测度用来填上的内部的闭集的测度的上确界内测度外测度可测集勒贝格测度设为中的点集，如果对任点集都有则称是可测的，这时的外测度即称为的测度，记为勒贝格测度运算性质集合可测对于,总有,可测可测。设可测，则也可测，并且当,对于任意集合总有,推广设可测，则也可测，并且当,对于任意集合总有,,设可测，则也可测。,推广设可测，则也可测。,设可测，则也可测。,设是列互不相交的可测集，则也是可测集，且推广设是列可测集，则，也是可测集。设是列递增的可测集令，则设是列递降的可测集令，则当时，勒贝格测度性质非负性单调性设可测，且，则可列可加性设是列互不相交的可测集,可测集类零测集凡外测度为的集合都是可测集，称为零测集。零测集性质零测度集的任何子集都为零测度集。有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。常见可测集区间不论开闭或半开半闭区间都是可测集合，且凡开集闭集皆可测。第三章测度论外测度可测集可测集类引言引言世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广原有的积分定义。注意到黎曼积分与长度面积体积等度量有密切的关系，所以积分概念的推广，自然要想到对中的点集给于种度量，使之成为长度面积体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。测度论的思想和方法已经是近代分析概率论及其他学科必不可少的工具。实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要的勒贝格测度与勒贝格积分理论。长度公理设有实数直线上的些点集所构成的集合族，若对于每个，都对应个实数在上定义了个实函数使得非负性有限可加性如果两两不相交，那么正则性,,该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的长度就是个点集，已经不是个区间，再如,中有理数集合的长度或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。勒贝格测度公理设有实数直线上的部分集合族，使得每个，都对应个实数在上定义了个实函数，满足非负性可列可加性如果两两不相交，那么正则性,问题是否每个集合都有测度内填外包法测量不规则图形的面积内填内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，即不足近似值。外包外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者，即过剩近似值。当格子越来越密时，小正方形的面积趋于，过剩和不足近似值能够趋于同个数值，这个值便是图形的面积。集合闭集取包含的那些开集的测度的下确界外测度用来填上的内部的闭集的测度的上确个实数在上定义了个实函数，满足非负性可列可加性如果两两不相交，那么正则性，即过剩近似值。当格子越来越密时，小正方形的面积趋于，过剩和不足近似值能够趋于同个数值，这个值便是图形的面积。集合闭集取包含的那些开集的测度的下确界外测度用来填上的内部的闭集的测度的外测度即称为的测度，记为勒贝格测度运算性质集合可测对于,总有,可测可测。设可测，则也可测，并且当,对于任意集合总,设可测，则也可测。,推广设可测，则也可测。,设可测，则也可测。,设是列互不相交设是列递降的可测集令，则当时，集类零测集凡外测度为的集合都是可测集，称为零测集。零测集性质零测度集的任何子集都为零测度集。有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。常见可测集区间不论开闭或半开半闭区间都是可原有的积分定义。注意到黎曼积分与长度面积体积等度量有密切的关系，所以积分概念的推广，自然要想到对中的点集给于种度量，使之成为长度面积体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。测度论的思想和个，都对应个实数在上定义了个实函数使得非负性有限可加性如果两两不相交，那么正则性,测度公理设有实数直线上的部分集合族，使得每个，都对应个实数在上定义了个实函数，满足非负性可列可加性如果两两不相交，那么正则性,问题是否每个集合都有测度内填外包法测量不规则图形的面积内填内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，即不足近似值。外包外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者，即过剩近似值。当格子越来越密时，小正方形的面积趋于，过剩和不足近似值能够趋于同个数值，这个值便是图形的面积。集合闭集取包含的那些开集的测度的下确界外测度用来填上的内部的闭集的测度的上确