TOP472016年高考数学中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题04立体几何解答题理（含解析）.doc文档免费在线阅读

明在线段上是否存在点，使得∥平面，若存在，确定点的位置若不存在，说明理由若与平面所成的角为，求二面角的余弦值解析Ⅱ设平面的法向量为，由，得，令，得设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点Ⅰ证明求直线与平面所成角的正弦值若为中点，棱上是否存在点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由答案详见解析Ⅱ当为与平面所成角正弦值的大小解析解答题共题如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点证明，故，即，所以，舍去，即练练提升能力如图，在长方体中，点在棱上移动Ⅰ证明的正弦值解析从而，即设，则，因为法向量为，平面的法向量为，首先利用向量的数量积列方程求出向量，的坐标，再利用向量的夹角公式求出，，进而求出二面角向分别为轴轴轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出的坐标，并设出点的坐标，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出的值得到的长Ⅱ设平面的，Ⅰ求的长Ⅱ求二面角的正弦值分析Ⅰ连结，因为是菱形的中心，，以为坐标原点，的方证建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解例如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，为上点，且若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值答案详见解析解析试题分析首先证明面，再利用线面平行的性质即可得易知，或者，典型例题例如图，在四棱锥中，底面是菱形，且点是棱的中点，平面与棱交于点求证，则平面与所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角法向量求直线与平面所成的角要求直线与平面所成的角，先求这个平面的法向量与直线的夹角的余弦，，再根据平面是锐角还是钝角，最后确定二面角的平面角的大小讲讲提高技能必备技能用法向量求角用法向量求二面角如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量与角，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，，设，是二面角的法向量，则，的夹角大小就是二面角的平面角的大小，用空间向量求空间角背背重点知识求两条异面直线所成的角，设，分别是直线，的方向向量，则，所成角为的夹角为则，求直线与平面所成的Ⅲ在棱上是否存在点，使⊥平面证明你的结论解析法二连接，交于，连接在中，为中位线，又平面，平面利足的点即为所求如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点Ⅰ证明平面Ⅱ求二面角的平面角的余弦值设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点Ⅰ证明平面Ⅱ求二面角的平面角的余弦值Ⅲ在棱上是否存在点，使⊥平面证明你的结论解析法二连接，交于，连接在中，为中位线，又平面，平面利用空间向量求空间角背背重点知识求两条异面直线所成的角，设，分别是直线，的方向向量，则，所成角为的夹角为则，求直线与平面所成的角，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，，设，是二面角的法向量，则，的夹角大小就是二面角的平面角的大小，，，再根据平面是锐角还是钝角，最后确定二面角的平面角的大小讲讲提高技能必备技能用法向量求角用法向量求二面角如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量与，则平面与所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角法向量求直线与平面所成的角要求直线与平面所成的角，先求这个平面的法向量与直线的夹角的余弦易知，或者，典型例题例如图，在四棱锥中，底面是菱形，且点是棱的中点，平面与棱交于点求证若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值答案详见解析解析试题分析首先证明面，再利用线面平行的性质即可得证建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解例如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，为上点，且，Ⅰ求的长Ⅱ求二面角的正弦值分析Ⅰ连结，因为是菱形的中心，，以为坐标原点，的方向分别为轴轴轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出的坐标，并设出点的坐标，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出的值得到的长Ⅱ设平面的法向量为，平面的法向量为，首先利用向量的数量积列方程求出向量，的坐标，再利用向量的夹角公式求出，，进而求出二面角的正弦值解析从而，即设，则，因为，故，即，所以，舍去，即练练提升能力如图，在长方体中，点在棱上移动Ⅰ证明Ⅱ当为与平面所成角正弦值的大小解析解答题共题如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点证明求直线与平面所成角的正弦值若为中点，棱上是否存在点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由答案详见解析解析，所以，直线与平面所成角的正弦值为向量，，由点在棱上，设，故，由，得，因此，解得，所以如图，在四棱柱中，侧棱⊥底面，∥，，，Ⅰ求证⊥平面Ⅱ若直线与平面所成角的正弦值为，求的值解析Ⅱ以为原点，，，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，如图，在直三棱柱中，平面侧面且Ⅰ求证Ⅱ若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小解析证明如图，取的中点，连接，因，则，由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以又，从而侧面，又侧面，故解法二向量法由知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，设平面的个法向量，由，得令，得，，则设直线与平面所成的角为，则得，解得，即又设平面的个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，，且，，得锐二面角的大小为在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且⊥平面证明若，求直线与平面所成角的正弦值答案证明见解析解析又平面，如图，四棱锥中，⊥底面，，为的中点，⊥求的长求二面角的正弦值解析由知，，设平面的法向量为，，平面的法向量为，由，得，因此可取由，得故可取从而法向量，的夹角的余弦值为，故二面角正弦值为如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，分别是的中点，且求证平面求证平面求二面角的余弦值解析取的中点，过作于点，连结，则，又平面，是二面角的平面角在中，又∽在中，可求得，故二面角的余弦值为直三棱柱中，分别是，的中点，，为棱上的点专题四立体几何解答题理空间向量运算与利用向量证明平行垂直的位置关系背背重点知识用向量证明线面平行的方法主要有证明直线的方向向量与平面的法向量垂直证明可在平面内找到个向量与直线的方向向量是共线向量利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示面面平行证明两个平面的法向量平行转化为线面平行，线线平行用向量证明线面垂直的方法有证明直线的方向向量与平行的法向量平行利用线面垂直的判定定理，转化为线线垂直面面垂直的证明发法两个平面的法向量垂直转化为线面垂直，线线垂直讲讲提高技能必备技能用向量证明空间中的平行关系设直线和的方向向量分别为和，则∥或与重合⇔∥设直线的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则∥或⊂⇔存在两个实数使设直线的方向向量为，平面的法向量为，则∥或⊂⇔⊥④设平面和的法向量分别为，，则∥⇔∥用向量证明空间中的垂直关系设直线和的方向向量分别为和，则⊥⇔⊥⇔设直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥⇔∥设平面和的法向量分别为和，则⊥⇔⊥⇔典型例题例如图，在四棱锥中，平面，，求证平面求二面角的大小答案证明见解析解析例如图，正方形