，点关于轴的对称点为，关于轴对称点为，关于轴对称点关于坐标平面面的对称点为，关于面的对称点为关于面的对称点为大题规范类型利用空间向量证明平行或垂直例本小题满分分如图所示是几何体及其三视图，正视图和侧视图是直角梯形，俯视图是直角三角形，是线段上点当为的中点时，求证平面是否存在点满足⊥平面请说明理由大题规范类型利用空间向量证明平行或垂直由三视图可知，⊥平面，⊥又⊥，∩⊥平面分如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系为则为的中点，分而平面的法向量为⊥且⊄面分面分大题规范类型利用空间向量证明平行，设平面的个法向量为，由，得可得平面的个法向量，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，因此，图类型二利用空间向量求二面角重点难点自我挑战大题规范所以如图，连接，由知且，所以四边形为平行四边形，可得，由题意，所以为正三角形，因此因此⊥所以四边形为平行四边形，因此又⊄平面，⊂平面，所以平面图类型二利用空间向量求二面角重点难点自我挑战大题规范解法自我挑战大题规范因为四边形是等腰梯形，且，所以又由是的中点，因此且连接，如图在四棱柱中，因为可得点是线段的中点求证平面若垂直于平面且，求平面和平面所成的角锐角的余弦值类型二利用空间向量求二面角重点难点的补角，要注意从图中分析若确定是锐角，可利用，公式类型二利用空间向量求二面角重点难点自我挑战大题规范高考山东卷如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，即，或舍，分当点为的中点时，满足要求分类型二利用空间向量求二面角重点难点大题规范求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角求二面角重点难点大题规范则，分由题可知平面的个法向量分平面与平面所成锐二面角的余弦值为，，，即，，令，类型二利用空间向量，分，⊥分类型二利用空间向量求二面角重点难点大题规范假设存在，设平面的法向量为，则，设，且则，又，，⊥，又⊥，∩，⊥平面，又⊂平面，⊥分以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，证明⊥是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为若存在，说明点的位置若不存在，说明理由类型二利用空间向量求二面角重点难点大题规范⊥，类型二利用空间向量求二面角重点难点大题规范例山西省四校联考本小题满分分直三棱柱中，分别是，的中点，⊥，为棱上的点，所以⊥，⊥，即⊥，⊥，又因为∩，所以⊥平面所以，所以，又因为⊂平面，⊄平面故平面类型利用空间向量证明平行或垂直自我挑战大题规范所以，所以，又因为⊂平面，⊄平面故平面类型利用空间向量证明平行或垂直自我挑战大题规范，所以⊥，⊥，即⊥，⊥，又因为∩，所以⊥平面类型二利用空间向量求二面角重点难点大题规范例山西省四校联考本小题满分分直三棱柱中，分别是，的中点，⊥，为棱上的点证明⊥是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为若存在，说明点的位置若不存在，说明理由类型二利用空间向量求二面角重点难点大题规范⊥，，⊥，又⊥，∩，⊥平面，又⊂平面，⊥分以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，且则，又分，⊥分类型二利用空间向量求二面角重点难点大题规范假设存在，设平面的法向量为，则，，，即，，令，类型二利用空间向量求二面角重点难点大题规范则，分由题可知平面的个法向量分平面与平面所成锐二面角的余弦值为，即，或舍，分当点为的中点时，满足要求分类型二利用空间向量求二面角重点难点大题规范求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析若确定是锐角，可利用，公式类型二利用空间向量求二面角重点难点自我挑战大题规范高考山东卷如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，点是线段的中点求证平面若垂直于平面且，求平面和平面所成的角锐角的余弦值类型二利用空间向量求二面角重点难点自我挑战大题规范因为四边形是等腰梯形，且，所以又由是的中点，因此且连接，如图在四棱柱中，因为可得所以四边形为平行四边形，因此又⊄平面，⊂平面，所以平面图类型二利用空间向量求二面角重点难点自我挑战大题规范解法如图，连接，由知且，所以四边形为平行四边形，可得，由题意，所以为正三角形，因此因此⊥以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，因此，图类型二利用空间向量求二面角重点难点自我挑战大题规范所以，设平面的个法向量为，由，得可得平面的个法向量又为平面的个法向量，因此，所以平面和平面所成的角锐角的余弦值为类型二利用空间向量求二面角重点难点自我挑战大题规范解法二由知平面∩平面，过点向引垂线交于点，连接，如图由⊥平面，可得⊥，因此为二面角的平面角在中，可得所以在中，，所以平面和平面所成的角锐角的余弦值为图类型三利用空间向量求线面角大题规范例江西省重点中学联考以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示设，又是等腰三角形，所以，所以，设平面的法向量为，则类型三利用空间向量求线面角自我挑战大题规范即，可得，令，则，所以是平面的个法向量分又，是的中点，所以，，所以，由于，所以⊥，又⊄平面，所以平面类型三利用空间向量求线面角自我挑战大题规范由知平面的个法向量为设直线与平面所成角的大小为，则，又，所以，即直线与平面所成角的余弦值为类型四利用空间向量求异面直线所成的角大题规范例山东高考信息优化卷本小题满分分如图，平面⊥平面，其中为矩形，为梯形，，⊥，求异面直线与所成角的大小若二面角的余弦值为，求的长类型四利用空间向量求异面直线所成的角大题规范设以为原点所成的直线分别为轴，轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，綊，与所成的角为类型四利用空间向量求异面直线所成的角大题规范由可知，因为平面⊥平面，⊥，所以⊥平面，所以⊥，又⊥，∩，所以⊥平面，所以平面的个法向量为分设为平面的法向量，则类型四利用空间向量求异面直线所成的角大题规范取，则所以为平面的个法向量分因为所以，所以分类型四利用空间向量求异面直线所成的角大题规范异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即，类型四利用空间向量求异面直线所成的角自我挑战大题规范山东高考原创卷如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，为的中点，⊥平面证明平面⊥平面若，试求异面直线与所成角的余弦值类型四利用空间向量求异面直线所成的角自我挑战大题规范取的中点且是等边三角形⊥，⊥又⊥面，⊥以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图则，，，设取中点，⊥，⊥，⊥面类型四利用空间向量求异面直线所成的角自我挑战大题规范是平面的法向量，设平面的法向量为即设，⊥，面⊥面类型四利用空间向量求异面直线所成的角自我挑战大题规范由，，与所成的角的余弦值为类型五利用空间向量求点到面的距离大题规范例本小题满分分如图，在五棱锥中，⊥平面，求证⊥求点到平面的距离类型五利用空间向量求点到面的距离大题规范由题意可知，，，⊥分又⊥平面，⊥，又∩，⊥平面，⊥分类型五利用空间向量求点到面的距离大题规范延长交于点，分别以直线，为轴和轴，以过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，分设平面的法向量为，则类型五利用空间向量求点到面的距离大题规范令，则是平面的个法向量，又，点到平面的距离为分类型五利用空间向量求点到面的距离大题规范平面的斜线段的向量在平面法向量上的投影的绝对值，就是该点到平面的距离类型五利用空间向量求点到面的距离自我挑战大题规范如图，已知两个正四棱锥与的高分别为证明⊥平面求异面直线与所成角的余弦值求点到面的距离如图，连接设∩，连接，与都是正四棱锥，⊥平面，⊥平面，从而三点在条直线上⊥平面类型五利用空间向量求点到面的距离自我挑战大题规范由题设知，四边形是正方形，⊥由知，⊥平面，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由条件得，于是从而异面直线与所成角的余弦值为类型五利用空间向量求点到面的距离自我挑战大题规范由得，设是平面的个法向量，由得，不妨取，得点到平面的距离必考点十三用空间向量解立体几何问题专题复习数学理类型利用空间向量证明平行或垂直类型二利用空间向量求二面角重点难点类型三利用空间向量求线面角类型类型四利用空间向量求异面直线所成的角类型五利用空间向量求点到面的距离高考预测运筹帷幄之中用空间向量研究空间关系用空间向量进行空间计算点到平面距离异面直线所成的角斜线与平面所成的角二面角大小知识回扣必记知识重要结论直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线，的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，以下相同线面平行⇔⊥⇔⇔线面垂直⊥⇔⇔⇔面面平行⇔⇔⇔面面垂直⊥⇔⊥⇔⇔知识回扣必记知识重要结论空间直线平面夹角的向量表示异面直线所成的角设，分别为异面直线，的方向向量，则两异面直线所成的角满足线面角设是斜线的方向向量，是平面的法向量，则斜线与平面所成的角满足知识回扣必记知识重要结论如图是二面角的两个半平面内与棱垂直的直线，则二面角的大小，如图分别是二面角的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足，或，点到平面的距离，为平面内任点知识回扣必记知识重要结论线线平行⇔⇔线线垂直⊥⇔⊥⇔正四面体中，相邻两棱的夹角为，对棱互相垂直夹角为，棱与面的所成角的余弦值为，相邻面所成的二面角的余弦值为知识回扣必记知识重要结论在空间直角坐标系中，则，，点关于轴的对称点为，关于轴对称点为，关于轴对称点关于坐标平面面的对称点为，关于面的对称点为关于面的对称点为大题规范类型利用空间向量证明平行或垂直例本小题满分分如图所示是几何体及其三视图，正视图和侧视图是直角梯形，俯视图是直角三角形，是线段上点当为的中点时，求证平面是否存在点满足⊥平面请说明理由大题规范类型利用空间向量证明平行或垂直由三视图可知，⊥平面，⊥又⊥，∩⊥平面分如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系为则为的中点，分而平面的法向量为⊥且⊄面分面分大题规范类型利用