1、“.....则𝐸𝐺𝐴𝐺𝐴𝐺意的是所以𝑎𝑏𝑎𝑏立体几何中求线段的长度可以通过解三角形,也可依据𝑎转化为向量求解考点考点考点知识方法易错易混对点识方法易错易混思考如何利用空间向量的数量积求异面直线夹角解题心得当题目条件有垂直关系时,常转化为数量积为零进行应用当异面直线所成的角为时,常利用它们所在的向量转化为向量的夹角来进行计算应该注,不妨设,可知点𝐴𝑁𝐵𝑀𝐴𝑁𝐵𝑀答案解析关闭考点考点考点知,分别是,的中点则与所成角的余弦值为答案解析解析关闭如图,以点为坐标原点,所在的直线分别为轴轴轴,建立空间直角坐标系𝐴𝑐𝑜𝑠,𝐵𝐷或,的长为或考点考点考点知识方法易错易混类型三利用空间向量的数量积求夹角例直三棱柱中,,与成角或又,⊥,⊥,𝐵𝐷𝐵𝐷𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶𝐷𝐵𝐴𝐶𝐷𝐵空间向量的数量积求长度例如图,在平行四边形中,把沿对角线折起,使与成角......”。

2、“.....分别是空间四边形的边,的中点,用向量方法证明,四⊥考点考点考点知识方法易错易混类型二利用�𝑂𝐶𝑂𝐴𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶𝑀𝐺𝑂𝐺−𝑂𝑀𝑂𝐺−𝑂𝐴𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶−𝑂𝐴𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶考点考点考点知识方法易点,是的重心,用基向量𝑂𝐴𝑂𝐶表示𝑂𝐺,𝑀𝐺答案答案关闭解𝑂𝐺𝑂𝐴𝐴𝐺𝑂𝐴𝐴𝑁𝑂𝐴𝑂𝑁−𝑂𝐴𝑂𝐴𝑂�向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的,即把空间向量转化到个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决考点考点考点知识方法易错易混对点训练在三棱锥中分别是,的中所需向量解题心得选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量空间𝑁𝐶𝐶𝐶𝐵𝐶𝐴𝐴𝐴𝐷𝐴𝐴......”。

3、“.....𝑀𝑃𝑀𝐴𝐴𝑃𝐴𝐴𝐴𝑃𝑎𝑐𝑏又𝑁𝐶𝐴𝐷,答案答案关闭解是的中点,𝐴𝑃𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝑃𝐴𝐷𝐷𝐶𝐴𝐵是的中点,𝐴𝑁混考点空间向量的线性运算例如图所示,在平行六面体中,设分别是的中点,试用表示以下各向量𝐴𝑃𝑀𝑃𝑁𝐶𝐴𝐴弦值为自测点评理解空间向量的概念性质运算,注意和平面向量类比,找区别与联系用向量方法解决立体几何问题,树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算考点考点考点知识方法易错易混弦值为自测点评理解空间向量的概念性质运算,注意和平面向量类比,找区别与联系用向量方法解决立体几何问题,树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算考点考点考点知识方法易错易混考点空间向量的线性运算例如图所示,在平行六面体中,设分别是的中点......”。

4、“.....答案答案关闭解是的中点,𝐴𝑃𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝑃𝐴𝐷𝐷𝐶𝐴𝐵是的中点,𝐴𝑁𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝑁𝐵𝐶𝐴𝐷是的中点,𝑀𝑃𝑀𝐴𝐴𝑃𝐴𝐴𝐴𝑃𝑎𝑐𝑏又𝑁𝐶𝑁𝐶𝐶𝐶𝐵𝐶𝐴𝐴𝐴𝐷𝐴𝐴,𝑀𝑃𝑁𝐶𝑎𝑏𝑐𝑎𝑐考点考点考点知识方法易错易混思考如何利用空间向量的线性运算表示所需向量解题心得选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的,即把空间向量转化到个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决考点考点考点知识方法易错易混对点训练在三棱锥中分别是,的中点,是的重心,用基向量𝑂𝐴𝑂𝐶表示𝑂𝐺......”。

5、“.....分别是空间四边形的边,的中点,用向量方法证明,四⊥考点考点考点知识方法易错易混类型二利用空间向量的数量积求长度例如图,在平行四边形中,把沿对角线折起,使与成角,求的长思考如何利用空间向量的数量积求长度答案答案关闭解与成角或又,⊥,⊥𝐵𝐷或,的长为或考点考点考点知识方法易错易混类型三利用空间向量的数量积求夹角例直三棱柱中,分别是,的中点则与所成角的余弦值为答案解析解析关闭如图,以点为坐标原点,所在的直线分别为轴轴轴,建立空间直角坐标系,不妨设,可知点𝐴𝑁𝐵𝑀𝐴𝑁𝐵𝑀答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混思考如何利用空间向量的数量积求异面直线夹角解题心得当题目条件有垂直关系时......”。

6、“.....常利用它们所在的向量转化为向量的夹角来进行计算应该注意的是所以𝑎𝑏𝑎𝑏立体几何中求线段的长度可以通过解三角形,也可依据𝑎转化为向量求解考点考点考点知识方法易错易混对点训练如图,在平行六面体中,以顶点为端点的三条棱长都为,且两两夹角为求的长求与夹角的余弦值答案答案关闭解记𝐴𝐵𝐴𝐴,则即的长为同得𝐴𝐶𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐶与夹角的余弦值为考点考点考点知识方法易错易混利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础利用共线向量定理共面向量定理可以证明些平行共面问题利用数量积运算可以解决些距离夹角问题利用向量解立体几何题的般方法把线段或角度转化为用向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去解决问题考点考点考点知识方法易错易混向量的数量积满足交换律分配律,但不满足结合律,即成立,不定成立求异面直线所成的角,般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化易错警示空间向量运算错误典例如图......”。

7、“.....是的中点,是的中点,是的中点,点在上,且∶∶,设,用基底表示以下向量𝐴𝐵𝐴𝐴𝐴𝑃𝐴𝑁𝐴𝑄解如图,连接,𝐴𝑃𝐴𝐶𝐴𝐴𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝐴𝐴𝑀𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝐴𝐴𝑁𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝐴𝐴𝐷𝐴𝐴𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝐴𝐴𝑄𝐴𝐶𝐶𝑄𝐴𝐶𝐴𝐴−𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐴𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝐴典例如图,在四棱柱中,是平行四边形已知𝐴𝐸𝐸𝐶若𝐴𝐵𝐴𝐴,试用表示𝐸𝐹解如图,连接,则𝐸𝐹𝐸𝐴𝐴𝐹由已知四边形是平行四边形,故𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴𝐷,𝐴𝐷𝐴𝐴𝐴𝐷由已知𝐴𝐹𝐴𝐷𝐷𝐹𝐴𝐷−𝐹𝐷𝐴𝐷−𝐴𝐷又𝐸𝐴𝐴𝐶,𝐸𝐹𝐸𝐴𝐴𝐹空间向量及其运算考纲要求了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义......”。

8、“.....能用向量的数量积判断向量的共线和垂直空间向量定义在空间中,既有大小又有方向的量叫作空间向量,其大小叫作向量的长度或模向量的夹角过空间任意点作向量,的相等向量𝑂𝐴和𝑂𝐵,则叫作向量,的夹角,记作,规定当时,⊥当或时,向量直线平面直线的方向向量设是直线上任意两点,则称𝐴𝐵为直线的方向向量与𝐴𝐵平行的任意非零向量也是直线的方向向量平面的法向量如果直线垂直于平面,那么把直线的方向向量叫作平面的法向量空间向量的运算空间向量的加减法及空间向量的数乘与平面向量的加减法及平面向量的数乘相同空间向量的数量积空间向量,的数量积,空间向量数量积与平面向量数量积的运算律相同设,是平面内两不共线向量,为平面的法向量,则求法向量的方程组为𝑛𝑎𝑏空间向量中的有关定理定理空间两个向量与共线的充分必要条件是存在实数,使得空间向量基本定理如果向量是空间三个不共面的向量,是空间任向量,那么存在唯组实数......”。

9、“.....向量表示坐标表示数量积共线垂直,模𝑎𝑎𝑎夹角,𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏下列结论正确的打,错误的打“”是,共线的充要条件对空间任意点与不共线的三点,若其中,则,四点共面对于空间非零向量⊥⇔空间中任意不共线的三个向量都可构成空间的个基底空间中任意两个非零向量共面𝑂𝑃𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶若,,有下列命题若,则与,共面若与,共面,则其中真命题的个数是若𝑀𝑃𝑀𝐴𝑀𝐵,则,共面若,共面,则𝑀𝑃𝑀𝐴𝑀𝐵答案解析解析关闭正确,中若,共线,与不共线,则就不成立正确中若共线,点不在此直线上,则𝑀𝑃𝑀𝐴𝑀𝐵不正确答案解析关闭如图,在个的二面角的棱上,有两个点,分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段,且,则的长为答案解析解析关闭设𝐴𝐵𝐵𝐷,由已知条件则𝐶𝐷答案解析关闭如图,在棱长为的正方体中分别是和的中点......”。