包括了前者曲线的切线与曲线的交点个数不定只有个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别组专项基础训练时间分钟已知函数的导函数为，且满足，则答案解析由，得，则已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为答案解析的定义域为，，且，设切点为则曲线在处的切线斜率，切线方程为，因为切线过点所以，解得，故此切线的斜率为已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于答案解析因为，所以，所以，解得设曲线在点，处的切线方程为，则答案解析令，则由导数的几何意义可得在点，处的切线的斜率为又切线方程为，则有，已知为常数，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是答案，解析由题意知曲线上存在点的导数为，所以有正根，即有正根当时，显然满足题意当时，需满足，解得综上，设函数，若，则答案解析，解得在平面直角坐标系中，若曲线，为常数过点且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是答案解析的导数为，直线的斜率为由题意得解得则课标全国Ⅱ已知曲线在点，处的切线与曲线相切，则答案解析由，得，得曲线在点，处的切线的斜率为，所以切线方程为，即，此切线与曲线相切，消去得，得且，解得已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限求的坐标若直线⊥，且也过切点，求直线的方程解由，得，由已知令，解之得当时当时，又点在第三象限，切点的坐标为，直线⊥，的斜率为，直线的斜率为过切点，点的坐标为直线的方程为，即设函数，曲线在点，处的切线方程为求的解析式证明曲线上任点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解方程可化为当时，又，于是解得，故设，为曲线上任点，由知曲线在点，处的切线方程为，即令，得，从而得切线与直线的交点坐标为，令，得，从而得切线与直线的交点坐标为，所以点，处的切线与直线，所围成的三角形的面积为故曲线上任点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，且此定值为组专项能力提升时间分钟已知函数若在处函数与的图象的切线平行，则实数的值为答案解析由题意可知由，得，可得，经检验，满足题意曲边梯形由曲线，所围成，过曲线，上点作切线，使得此切线从曲边梯形上切出个面积最大的普通梯形，则这点的坐标为答案，解析设则易知曲线在点处的切线方程为设，则，普通梯形，点坐标为，时，普通梯形最大若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是答案，解析，存在垂直于轴的切线，存在零点，即有解，已知曲线与直线交于点，设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则„的值为答案解析点，处的切线方程为，令，得，即，„„，则„„已知函数，和直线，且求的值是否存在，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线如果存在，求出的值如果不存在，请说明理由解由已知得，存在由已知得，直线恒过定点若直线是曲线的切线，则设切点为切线方程为，将，代入切线方程，解得当时，切线方程为当时，切线方程为由知，由得，解得或在处，的切线方程为在处，的切线方程为，与的公切线是由得，解得或在处，的切线方程为在处，的切线方程为与的公切线不是综上所述，与的公切线是，此时步步高江苏专用版高考数学轮复习第三章导数及其应用导数的概念及运算文导数与导函数的概念设函数在区间，上有定义，若无限趋近于时，比值无限趋近于个常数，则称在处可导，并称该常数为函数在处的导数，记作若对于区间，内任点都可导，则在各点的导数也随着自变量的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为的导函数，记作导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点，处的切线的斜率，即基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数为常数为常数，，导数的运算法则若，存在，则有思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”与表示的意义相同求时，可先求再求曲线的切线不定与曲线只有个公共点与曲线只有个公共点的直线定是曲线的切线函数的导数是教材改编是函数的导函数，则的值为答案解析，如图所示为函数，的导函数的图象，那么，的图象可能是答案解析由的图象知在，上单调递减，说明函数的切线的斜率在，上也单调递减，故可排除又由图象知与的图象在处相交，说明与的图象在处的切线的斜率相同，由图知不符合，符合，故正确设函数的导数为，且，则答案解析因为，所以，所以，即，所以故已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是答案，解析，当且仅当，即时，成立，又陕西设曲线在点，处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为答案，解析，曲线在点，处的切线的斜率，设的导数为，曲线在点处的切线斜率，因为两切线垂直，所以，所以则点的坐标为，题型导数的为函数在处的导数，记作若对于区间，内任点都可导，则在各点的导数也随着自变量的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为的导函数，记作导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点，处的切线的斜率，即基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数为常数为常数，答案解析先设切点为则切点在曲线上有，求导数得到切线的斜率，又切线过两点，所以，则，联立可解得的快慢已知函数，若过点，且与曲线相切的直线方程为，则实数的值是若直线是曲线的切线，则实数的值为，可设切点为由，求解即可函数图象在每点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降用时主要体现在以下几个方面已知切点，求斜率，即求该点处的导数值已知斜率，求切点即解方程若求过点，的切线方程是上升的，且图象是上凸的当，时，在单位长度变化量内面积变化量为，即斜率在，内为常数，此时，函数图象为平行于轴的射线思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应来越大，因此，函数的图象是上升的，且图象是下凸的当，时，在单位长度变化量内面积变化量大于且越来越小，即斜率在，内大于且越来越小，因此，函数的图象，则函数的图象为下图中的填序号答案解析函数的定义域为，，当，时，在单位长度变化量内面积变化量大于且越来越大，即斜率在，内大于且越，则有，于是解得命题点导数与函数图象的关系例如图，点过点作的垂线记在直线左侧部分的面积为象的切点为则答案解析，直线的斜率为又，切线的方程为，设直线与的图象的切点为，直线的方程为，即命题点和切线有关的参数问题例已知，直线与函数，的图象都相切，且与图为，即点，不在曲线上，设切点为，又，，，解得，切点为，并且与曲线相切，则直线的方程为答案解析对求导得设切点坐标为则切线斜率为由得，故切线方程，又过点所以切线方程为命题点未知切点的切线方程问题例与直线平行的抛物线的切线方程是已知函数，若直线过点，答案解析，则，故该切线方程为，即根据导数的几何意义及图象可知，曲线在点处的切线的斜率处的切线方程为已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是，则，解得，为奇函数，且，题型二导数的几何意义命题点已知切点的切线方程问题例函数的图象在点则若函数满足，则答案解析，故由得则若函数满足，则答案解析，故由得，则，解得，为奇函数，且，题型二导数的几何意义命题点已知切点的切线方程问题例函数的图象在点，处的切线方程为已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是答案解析，则，故该切线方程为，即根据导数的几何意义及图象可知，曲线在点处的切线的斜率，又过点所以切线方程为命题点未知切点的切线方程问题例与直线平行的抛物线的切线方程是已知函数，若直线过点并且与曲线相切，则直线的方程为答案解析对求导得设切点坐标为则切线斜率为由得，故切线方程为，即点，不在曲线上，设切点为，又，，，解得，切点为直线的方程为，即命题点和切线有关的参数问题例已知，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为则答案解析，直线的斜率为又，切线的方程为，设直线与的图象的切点为则有，于是解得命题点导数与函数图象的关系例如图，点过点作的垂线记在直线左侧部分的面积为，则函数的图象为下图中的填序号答案解析函数的定义域为，，当，时，在单位长度变化量内面积变化量大于且越来越大，即斜率在，内大于且越来越大，因此，函数的图象是上升的，且图象是下凸的当，时，在单位长度变化量内面积变化量大于且越来越小，即斜率在，内大于且越来越小，因此，函数的图象是上升的，且图象是上凸的当，时，在单位长度变化量内面积变化量为，即斜率在，内为常数，此时，函数图象为平行于轴的射线思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面已知切点，求斜率，即求该点处的导数值已知斜率，求切点即解方程若求过点，的切线方程，可设切点为由，求解即可函数图象在每点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢已知函数，若过点，且与曲线相切的直线方程为，则实数的值是若直线是曲线的切线，则实数的值为答案解析先设切点为则切点在曲线上有，求导数得到切线的斜率，又切线过两点，所以，则，联立可解得从而实数的值为设切点为由，得切线的斜率，故切线方程为，整理得，与比较得解得，故求曲线的切线方程条件审视不准致误典例分若存在过点，的直线与曲线和都相切，求的值易错分析由于题目中没有指明点，的位置情况，容易忽略点在曲线上这个隐含条件，进而不考虑点为切点的情况规范解答解易知点，在曲线上当，是切点时，由混淆求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的区别，前者只有条，而后者。日本日本是废旧轮胎利用较好的国家之。年废旧轮胎产生量为万吨，利用率，年分别是吨和。中国我国废旧橡胶产生量，近年来估计约在万吨左右，利用率仅为左右。由于国内橡胶消耗量增长较快，预计年将达到万吨左右年