含条件空间面面的通过作辅助线来解决失误与防范在推证线面平行时，定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线辅助面时定要以性质定理为依据，绝不能主观臆断在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这点在证明中要注意口诀线不在多，重在相交面面垂直的性质定理在立体几何中是个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作个平面的垂线，在些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么后证明什么组专项基础训练时间分钟设，为两个不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题若，⊂，则若⊂，⊂，，，则若，⊥，则⊥若，是异面直线，，，且⊥，⊥，则⊥其中真命题的序号是答案解析由，⊂知，与无公共点，故当⊂，⊂，与相交，，时，由知，内存在，使得因为⊥，所以⊥，故⊥易知内存在使得，，且，相交，由⊥，⊥知，⊥且⊥，故⊥已知平面直线给出下列命题若，，，则若，，，则若⊥，⊥，⊥，则⊥若⊥，⊥，⊥，则⊥其中是真命题的是填写所有真命题的序号答案解析对于，平面与可能相交，故错对于，若，，，则直线与可能平行，可能相交，也可能异面，故错对于，由面面垂直的判定可知正确对于，由面面垂直的性质可知⊥，故正确因此真命题的序号为在四棱锥中，⊥底面，底面各边都相等，是上动点，当满足是时，平面⊥平面答案的中点解析当是中点时，连结，交于，由题意知，是的中点，连结，则⊥平面，⊥平面，⊂平面，平面⊥平面如图，是空间四边形分别是四边上的点，且它们共面，并且平面，平面，当是菱形时，∶答案解析设由题意知，，得，同理因为，所以，所以如图，在三棱柱中，侧棱⊥底面，底面是以为直角的等腰直角三角形，是的中点，点在线段上，当时，⊥平面答案或解析由题意易知，⊥平面，所以⊥要使⊥平面，只需⊥即可令⊥，设，则易知，得，即，整理得，解得或如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面⊥平面⊥，⊥分别是，的中点，连结求证平面⊥平面证明连结因为四边形是平行四边形，所以为的中点在中，因为，分别是，的中点，所以因为⊄平面，⊂平面，所以平面连结因为是的中点所以⊥因为平面⊥平面，平面∩平面，⊂平面，所以⊥平面，从而⊥因为⊥，∩，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面因为⊂平面，所以⊥因为⊥，，所以⊥因为⊂平面，⊂平面，∩，所以⊥平面如图所示，在正方体中，是棱的中点证明平面⊥平面在棱上是否存在点，使平面证明你的结论证明如图，因为为正方体，所以⊥面因为⊂面，所以⊥又因为⊥，∩，所以⊥面因为⊂面，所以平面⊥平面解当点为中点时，可使平面证明如下易知，且设∩，则且，所以且，所以四边形为平行四边形所以又因为⊄面，⊂面所以面如图所示，在正方体中分别是棱，的中点证明平面⊥平面证明平面若正方体棱长为，求四面体的体积证明如图，连结因为为正方体，所以⊥平面因为⊂平面，所以⊥因为⊥，∩，所以⊥平面因为⊂平面，所以平面⊥平面证明如图，连结，由已知条件得，且设∩，则且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以因为⊄平面，⊂平面，所以平面解组专项能力提升时间分钟在正四面体中，分别是的中点，给出下面三个结论平面⊥平面平面⊥平面其中不成立的结论是填写所有不成立的结论的序号答案解析如图，由题知，平面四面体为正四面体，⊥，⊥，⊥平面，⊥平面，平面⊥平面，和成立设此正四面体的棱长为，则，，故不成立如图，过四棱柱的木块上底面内的点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面请在木块的上表面作出过点的锯线，并说明理由若该四棱柱的底面为菱形，四边形是矩形，试证明平面⊥平面解在上底面内过点作的平行线分别交，于，两点，则为所作的锯线在四棱柱中，侧棱所以四边形是平行四边形，又，所以，故为截面与平面的交线，故为所作锯线如图所示证明由于四边形是矩形，所以⊥又，所以⊥又四棱柱的底面为菱形，所以⊥因为∩，所以⊥平面因为⊂平面，所以平面⊥平面如图，垂直于矩形所在的平面分别是，的中点求证平面求证平面⊥平面求四面体的体积证明设为的中点，连结，为的中点，为的中点，綊，綊，綊，四边形为平行四边形，⊂平面，⊄平面，平面证明，⊥又⊥平面，⊂平面，⊥⊥，∩，⊥平面⊂平面，⊥∩，⊥平面，⊥平面⊂平面，平面⊥平面解由知⊥平面，所以为四面体的高，又，所以四面体的体积步步高江苏专用版高考数学轮复习第八章立体几何平行与垂直的综合应用文证明方法证明平行关系的方法证明线线平行的常用方法利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行利面体的体积证明设为的中点，连结，为的中点，为的中点，綊，綊，綊，四边形为平行四边形，⊂平面，⊄平面，平面证明，⊥又⊥平面，⊂平面，⊥⊥，∩，⊥平面⊂平面，⊥∩，⊥平面，⊥平面⊂平面，平面⊥平面解由知⊥平面，所以为四面体的高，又，所以综合证明例如图，四边形是正方形，⊥平面求证⊥平面若点在线段上，且，求证平面证明因为⊥平面且⊥，所以四边形是矩形，所以⊥因为∩，所以⊥侧面又因为⊂平面，所以截面⊥侧面命题点平行垂直的的中点，的中点，连结，则，且因为，所以≌，所以因为为的中点，所以⊥又⊥，∩，在平面内，⊥平面命题点面面垂直的证明例如图所示，在正三棱柱中，为的中点，求证截面⊥侧面证明如图所示，取，⊥，四边形为平行四边形，⊥，，⊥四边形是菱形平面，点为的中点，⊥平面⊥平面，平面∩平面，⊂平面，⊥，⊥平面⊂平面点求证平面求证⊥平面证明四边形是菱形，∩，点是的中点，点为的中点，，又⊄平面，⊂平面平面平面命题点直线与平面垂直的证明例如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，平面⊥平面点为的中得，又，四边形是平行四边形，同理又，四边形是平行四边形，，，平面又∩，平面，平面同理平面，又∩⊂平面，平面平面由，得平面如图所示，取的中点，连结易求证平面平面若，分别是，的中点，求证平面平面证明四边形是平行四边形，，又⊂平面，⊂的中点，四边形为平行四边形，又⊄平面，⊂平面，平面命题点面面平行的证明例如图所示，已知正方体平行的证明例在正方体中分别为棱，的中点求证平面证明如图所示，连结交于点，连结，则，为公共点又⊂，与无公共点，故，与没有公共点又∩，∩，⊂，⊂，且，⊂，又，题型二平行与垂直关系的证明命题点线面⊥平面已知三个平面若，∩，∩，且直线⊂，判断与的位置关系，并说明理由判断与的位置关系，并说明理由解，，与没有，分别为，的中点现在沿，及把这个正方形折成个四面体，使点重合，记为点，则与平面的位置关系为答案垂直解析翻折后⊥，⊥，从而易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这条件结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确在正方形中，易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这条件结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确在正方形中分别为，的中点现在沿，及把这个正方形折成个四面体，使点重合，记为点，则与平面的位置关系为答案垂直解析翻折后⊥，⊥，从而⊥平面已知三个平面若，∩，∩，且直线⊂，判断与的位置关系，并说明理由判断与的位置关系，并说明理由解，，与没有公共点又⊂，与无公共点，故，与没有公共点又∩，∩，⊂，⊂，且，⊂，又，题型二平行与垂直关系的证明命题点线面平行的证明例在正方体中分别为棱，的中点求证平面证明如图所示，连结交于点，连结，则，为的中点，四边形为平行四边形，又⊄平面，⊂平面，平面命题点面面平行的证明例如图所示，已知正方体求证平面平面若，分别是，的中点，求证平面平面证明四边形是平行四边形，，又⊂平面，⊂平面，平面同理平面，又∩⊂平面，平面平面由，得平面如图所示，取的中点，连结易得，又，四边形是平行四边形，同理又，四边形是平行四边形，，，平面又∩，平面平面命题点直线与平面垂直的证明例如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，平面⊥平面点为的中点求证平面求证⊥平面证明四边形是菱形，∩，点是的中点，点为的中点，，又⊄平面，⊂平面，平面，点为的中点，⊥平面⊥平面，平面∩平面，⊂平面，⊥，⊥平面⊂平面，⊥，四边形为平行四边形，⊥，，⊥四边形是菱形，⊥，∩，在平面内，⊥平面命题点面面垂直的证明例如图所示，在正三棱柱中，为的中点，求证截面⊥侧面证明如图所示，取的中点，的中点，连结，则，且因为，所以≌，所以因为为的中点，所以⊥又且⊥，所以四边形是矩形，所以⊥因为∩，所以⊥侧面又因为⊂平面，所以截面⊥侧面命题点平行垂直的综合证明例如图，四边形是正方形，⊥平面求证⊥平面若点在线段上，且，求证平面证明因为⊥平面，所以⊥因为四边形是正方形，所以⊥又∩，从而⊥平面如图，延长，交于点因为所以因为，所以，所以，所以又⊄平面，⊂平面，所以平面思维升华空间线面的位置关系的判定方法证明直线与平面平行，设法在平面内找到条直线与已知直线平行，解答时合理利用中位线性质线面平行的性质，或构造平行四边形，寻求比例关系确定两直线平行证明直线与平面垂直，主要途径是找到条直线与平面内的两条相交直线垂直解题时注意分析观察几何图形，寻求隐疏义，列于学官。行冲俄又累表请致仕，制许之。十七年卒，赠礼部尚书，谥曰献。节选自旧唐书元行冲传，有删改注搏击督察举发。下列对文中画波浪线部分的断句，正确的项是分下之事上亦犹蓄聚以自资也譬贵家储积则