TOP48【导与练】（新课标）2016高考数学二轮复习专题6解析几何第4讲圆锥曲线中的综合问题理.doc文档免费在线阅读

，此时，所以直线的方程为，所以直线过定点，已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心到的距离，则被圆截得的弦长为，所以由题意得又，所以，所以椭圆的方程为证明设点过点的椭与只有个公共点，故所以，又因为的截距所以坐标原点到的距离的比值为当的斜率为时，由图形对称性知，坐标原点到的距离之比仍为综上，坐标原点到，距离的比设，故，的直径，又由抛物线定义知，所以，的斜率为或，当的斜率为时，可设方程为代入得，由于系可得，故而点到直线的距离所以的面积三点共线，显然不符合题意当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为由消去得，整理得，设由元二次方程根与系数的关，所以椭圆的个顶点为又其焦点为，故所以椭圆的方程为存在当直线的斜率不存在时，直线即为轴，此时，为椭圆短轴的两个端点，的方程求面积的取值范围若，是否存在大于的常数，使得椭圆上存在点，满足若存在，试求出的值若不存在，试说明理由解由题意得抛物线的焦点坐标为存在，故舍去当时符合，直线的方程为已知椭圆的左右焦点分别为且抛物线的焦点为椭圆的顶点，过点，的直线与椭圆交于不同的两点，求椭圆所以，即，所以，于是，解得或经检验，当时，不因为所以由⊥，知设直线的方程为，由得由，得，且，由题意，有因为的直线方程为，代入椭圆方程，有，解得于是，解得又，从而，所以椭圆的方程为假设存在直线交椭圆于，两点，且为的垂心设求椭圆的方程设椭圆的上顶点为，是否存在直线交椭圆于，两点，使点为的垂心若存在，求出直线的方程若不存在，请说明理由解设则，知过点且与轴垂直示存在性问题，先假设存在，进行系列推理，若推理正确则存在，若得出矛盾则不存在已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，为坐标原点，整理得，设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为则因为点在圆上，所以，所以所以两条切线斜率之积为常数圆锥曲线中的存在性问题训练提，联立直线与椭圆的方程得消去得，整理得，因为与椭圆相切，所以到的距离，则被圆截得的弦长为，所以由题意得又，所以，所以椭圆的方程为证明设点过点的椭圆的切线的方程为，整理得的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心代入，并整理得，所以，此时，所以直线的方程为，所以直线过定点，已知直线，圆，椭圆代入，并整理得，所以，此时，所以直线的方程为，所以直线过定点，已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心到的距离，则被圆截得的弦长为，所以由题意得又，所以，所以椭圆的方程为证明设点过点的椭圆的切线的方程为，整理得，联立直线与椭圆的方程得消去得，整理得，因为与椭圆相切，所以，整理得，设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为则因为点在圆上，所以，所以所以两条切线斜率之积为常数圆锥曲线中的存在性问题训练提示存在性问题，先假设存在，进行系列推理，若推理正确则存在，若得出矛盾则不存在已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，为坐标原点求椭圆的方程设椭圆的上顶点为，是否存在直线交椭圆于，两点，使点为的垂心若存在，求出直线的方程若不存在，请说明理由解设则，知过点且与轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程，有，解得于是，解得又，从而，所以椭圆的方程为假设存在直线交椭圆于，两点，且为的垂心设因为所以由⊥，知设直线的方程为，由得由，得，且，由题意，有因为所以，即，所以，于是，解得或经检验，当时，不存在，故舍去当时符合，直线的方程为已知椭圆的左右焦点分别为且抛物线的焦点为椭圆的顶点，过点，的直线与椭圆交于不同的两点，求椭圆的方程求面积的取值范围若，是否存在大于的常数，使得椭圆上存在点，满足若存在，试求出的值若不存在，试说明理由解由题意得抛物线的焦点坐标为，所以椭圆的个顶点为又其焦点为，故所以椭圆的方程为存在当直线的斜率不存在时，直线即为轴，此时，为椭圆短轴的两个端点，三点共线，显然不符合题意当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为由消去得，整理得，设由元二次方程根与系数的关系可得，故而点到直线的距离所以的面积设，故，的直径，又由抛物线定义知，所以，的斜率为或，当的斜率为时，可设方程为代入得，由于与只有个公共点，故所以，又因为的截距所以坐标原点到的距离的比值为当的斜率为时，由图形对称性知，坐标原点到的距离之比仍为综上，坐标原点到，距离的比值为平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点点满足，其中，∈，且求点的轨迹方程设点的轨迹与椭圆交于两点且以为直径的圆过原点，求证为定值解设由，可得所以⇒代入有，即点的轨迹方程为证明由⇒设则，因为以为直径的圆过原点，所以⇒⇒⇒，所以为定值类型二圆锥曲线中的最值问题郑州第次质量预测已知动点到定点，和到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于，两点，直线与曲线交于，两点，与线段相交于点与，不重合求曲线的方程当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值，若有，求出其最大值及对应的直线的方程若没有，请说明理由解设点由题意可得，整理可得，曲线的方程是有最大值，设由已知可得当时，不合题意当≠时，由直线与圆相切，可得，即联立消去得，四边形当且仅当，即时等号成立，此时四边形的面积的最大值为，经检验可知，直线和直线符合题意如图，过轴上动点，引抛物线的两条切线，切线斜率分别为和，切点分别为，求证为定值，并且直线过定点记的面积为，当最小时，求的值证明设过点的直线为，与抛物线联立得整理得所以为定值抛物线方程，求导得，设切点，的坐标分别为则所以直线的方程，由得到，整理可得，所以直线过定点，解设到的距离为，所以，设，所以，当且仅当时取等号，此时因为，所以类型三证明问题已知曲线∈若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围设，曲线与轴的交点为，点位于的上方，直线与曲线交于不同的两点直线与直线交于点，求证三点共线解曲线是焦点在轴上的椭圆，当且仅当解得，即设点，的坐标分别为则，直线的方程为，点的坐标为，因为直线和直线的斜率分别为所以即故三点共线浙江卷如图，设椭圆，动直线与椭圆只有个公共点，且点在第象限已知直线的斜率为，用表示点的坐标若过原点的直线与垂直，证明点到直线的距离的最大值为解设直线的方程为，由消去得由于与只有个公共点，故，即，解得点的坐标为，又点在第象限，故点的坐标为，证明由于直线过原点且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立所以，点到直线的距离的最大值为第讲圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线中的最值与范围问题训练提示求解最值与范围问题的关键是寻找目标函数或关系式，将所求量转化求解已知圆及定点点是圆上的动点，点在上，且满足，点的轨迹为曲线求曲线的方程若点，关于直线的对称点在曲线上，求的取值范围解设因为，且，所以，由椭圆定义得，曲线的方程为设，关于直线的对称点为则所以所以因为，在曲线上，所以，化简得，因为此方程有正根，令，其图象的对称轴为，所以，所以或，因为，所以的取值范围为，∞已知抛物线，为其焦点设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线当点，为直线上的定点时，求直线的方程当点在直线上移动时，求的最小值解抛物线的方程为，即，求导得设，其中则切线，的斜率分别为，所以切线的方程为，即，即同理，可得切线的方程为因为切线，均过点所以，所以，为方程的两组解故直线的方程为由抛物线定义可知所以联立方程消去整理得，由根与系数的关系可得所以又点，在直线上，所以所以所以当时取得最小值，且最小值为圆锥曲线中的定点定值问题训练提示由直线方程确定定点，若得到直线方程的点斜式，则直线必过定点若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点，证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数些变量无关也可令系数等于零，得出定值已知动圆过定点且在轴上截得弦的长为求动圆圆心的轨迹的方程已知点设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点若轴是的角平分线，证明直线过定点解如图所示，设动圆圆心由题意当不在轴上时，过作⊥交于，则是的中点，所以，又，所以，化简得≠又当在轴上时，与重合，点的坐标，也满足方程，所以动圆圆心的轨迹的方程为证明如图，由题意，设直线的方程为≠，将代入中，得，其中由根与系数的关系得，因为轴是的角平分线，所以，即，将代入，并整理得，所以，此时，所以直线的方程为，所以直线过定点，已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心到的距离，则被圆截得的弦长为，所以由题意得又，所以，所以椭圆的方程为证明设点过点的椭圆的切线的方程为，整理得，联立直线与椭圆的方程得消去得，整理得，因为与椭圆相切，所以，整理得，设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为则因为点在圆上，所以，所以所以两条切线斜率之积为常数圆锥曲线中的存在性问题训练提示的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心，联立直线与椭圆的方程得消去得，整理得，因为与椭圆相切，所以示存在性问题，先假设存在，进行系列推理，若