TOP30高考数学二轮复习立体几何10空间向量求夹角和距离学案理.doc文档免费在线阅读

点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，连接，则⊥因为平面⊥平面，且平面∩平面，所以是平面的个法向量又所以，故直线与平面所成角的正弦值为设，则，因为所以解得或舍去的平面角为，且为钝角二面角的余弦值为方法存在，是的中点或是的中点设∈，⊥又∩的个法向量为，，取，平面的个法向量为，设二面角又⊂平面，平面∩平面，所以∥又∥，所以∥解方法在中，所以，即⊥因为⊥平面，所以∥求二面角的余弦值证明因为，分别是，的中点，所以∥，∥所以∥又⊄平面，⊂平面，所以∥平面山东如图所示，在三棱锥中，⊥平面，分别是，的中点与交于点，与交于点，连接求证，即两平面的法向量的夹角不定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化变式算求空间角的般步骤建立恰当的空间直角坐标系求出相关点的坐标写出向量坐标④结合公式进行论证计算转化为几何结论求空间角注意两条异面直线所成的角不定是直线的方向向量的夹角面，为平面的个法向量，由图可知所求二面角为锐角，二面角的余弦值为思维升华运用空间向量坐标运的法向量为，则故，即令，则故是平面的个法向量⊥⊥，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则，可得设平面接，四边形是矩形，且为的中点，为的中点，又在中，为的中点，∥，⊂面，⊄面，∥平面解如图，取的中点，则分别为的中点求证∥平面求二面角的余弦值思维启迪易知为的中位线根据⊥平面构建空间直角坐标系证明连，分别是，的中点，则点到平面的距离为答案课中研讨例如图，五面体中，四边形是矩形，∥，⊥平面，且，所成角的正弦等于答案在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为答案已知正方形的边长为，⊥平面为三基本概念检测在棱长为的正方体中分别为，的中点，那么直线与所成角的余弦值为答案已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面⊥，得⊥平面，故⊥，所以为二面角的平面角在中，由余弦定理可得所以二面角的余弦值，因此⊥在底面内，可得，从而在平面内，作∥交于点，于是由于∥，故∥，所以，四点共面由⊥，⊥，因此⊥在底面内，可得，从而在平面内，作∥交于点，于是由于∥，故∥，所以，四点共面由⊥，⊥，得⊥平面，故⊥，所以为二面角的平面角在中，由余弦定理可得所以二面角的余弦值为三基本概念检测在棱长为的正方体中分别为，的中点，那么直线与所成角的余弦值为答案已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦等于答案在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为答案已知正方形的边长为，⊥平面，分别是，的中点，则点到平面的距离为答案课中研讨例如图，五面体中，四边形是矩形，∥，⊥平面，且，分别为的中点求证∥平面求二面角的余弦值思维启迪易知为的中位线根据⊥平面构建空间直角坐标系证明连接，四边形是矩形，且为的中点，为的中点，又在中，为的中点，∥，⊂面，⊄面，∥平面解如图，取的中点，则⊥，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则，可得设平面的法向量为，则故，即令，则故是平面的个法向量⊥面，为平面的个法向量，由图可知所求二面角为锐角，二面角的余弦值为思维升华运用空间向量坐标运算求空间角的般步骤建立恰当的空间直角坐标系求出相关点的坐标写出向量坐标④结合公式进行论证计算转化为几何结论求空间角注意两条异面直线所成的角不定是直线的方向向量的夹角，即两平面的法向量的夹角不定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化变式山东如图所示，在三棱锥中，⊥平面，分别是，的中点与交于点，与交于点，连接求证∥求二面角的余弦值证明因为，分别是，的中点，所以∥，∥所以∥又⊄平面，⊂平面，所以∥平面又⊂平面，平面∩平面，所以∥又∥，所以∥解方法在中，所以，即⊥因为⊥平面，所以⊥又∩的个法向量为，，取，平面的个法向量为，设二面角的平面角为，且为钝角二面角的余弦值为方法存在，是的中点或是的中点设∈，，解得或，或，在直线上存在点，且当是的中点或是的中点时，使得与平面所成角的正弦值为方法二存在，是的中点或是的中点设，则∈，解得或是的中点或是的中点例课标全国Ⅱ如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点证明∥平面设二面角为，求三棱锥的体积证明连接交于点，连接因为为矩形，所以为的中点又为的中点，所以∥因为⊂平面，⊄平面，所以∥平面解因为⊥平面，为矩形，所以两两垂直如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则设，则，设为平面的法向量，则，即可取又为平面的法向量，由题设即，解得因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积课后巩固如图，三棱锥的棱长全相等，为的中点，则直线与所成角的余弦值为答案在棱长为的正方体中，是的中点是正方体内部或面上的两个动点，则的最大值是答案在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为答案正方体的棱长为，分别为的中点，则点到平面的距离为答案已知为正方体向量与向量的夹角是④正方体的体积为其中正确命题的序号是北京如图，正方形的边长为分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，求证∥若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长证明在正方形中，因为是的中点，所以∥又因为⊄平面，⊂平面，所以∥平面因为⊂平面，且平面∩平面，所以∥解因为⊥底面，所以⊥，⊥如图建立空间直角坐标系，则，设平面的个法向量为，则如图所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直求直线与平面所成角的正弦值在线段上找点，使与所成的角为，试确定点的位置解以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，连接，则⊥因为平面⊥平面，且平面∩平面，所以是平面的个法向量又所以，故直线与平面所成角的正弦值为设，则，因为所以解得或舍去，故存在满足条件的点为的中点二轮复习专题五立体几何空间向量求夹角和距离学习目标理解数列的概念和几种简单的表示方法列表图象通项公式了解数列通项公式的意义数列是自变量为正整数的类函数理解数列的函数特征，能利用数列的周期性，单调性解决数列的有关问题。

以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。

学法指导先认真阅读教材和轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识限时分钟规范完成探究部分，并总结规律方法找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑重点理解的内容高考方向以三视图为载体，考查空间几何体面积体积的计算考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题课前预习知识网络构建直线与直线直线与平面平面与平面的夹角计算求空间距离二高考真题再现天津卷如图所示，在四棱锥中，⊥底面，⊥，∥，点为棱的中点证明⊥求直线与平面所成角的正弦值若为棱上点，满足⊥，求二面角的余弦值图解方法依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，可得，由为棱的中点，得证明向量故，所以⊥向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的个法向量于是有所以直线与平面所成角的正弦值为向量，由点在棱上，设，故由⊥，得，因此，解得，即设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的个法向量取平面的法向量，则，易知二面角是锐角，所以其余弦值为方法二证明如图所示，取中点，连接，由于，分别为，的中点，故∥，且又由已知，可得∥且，故四边形为平行四边形，所以∥因为⊥底面，故⊥，而⊥，从而⊥平面因为⊂平面，所以⊥又∥，所以⊥连接，由有⊥平面，得⊥而∥，故⊥又因为，为的中点，所以⊥，可得⊥，所以⊥平面，故平面⊥平面，所以直线在平面内的射影为直线而⊥，可得为锐角，故为直线与平面所成的角依题意，有，而为中点，可得，进而故在直角三角形中因此，所以直线与平面所成角的正弦值为如图所示，在中，过点作∥交于点因为⊥底面，所以⊥底面，从而⊥又⊥，得⊥平面，因此⊥在底面内，可得，从而在平面内，作∥交于点，于是由于∥，故∥，所以，四点共面由⊥，⊥，得⊥平面，故⊥，所以为二面角的平面角在中，由余弦定理可得所以二面角的余弦值为三基本概念检测在棱长为的正方体中分别为，的中点，那么直线与所成角的余弦值为答案已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦等于答案在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为答案已知正方形的边长为，⊥平面，分别是，的中点，则点到平面的距离为答案课中研讨例如图，五面体中，四边形是矩形，∥，⊥平面，且⊥，得⊥平面，故⊥，所以为二面角的平面角在中，由余弦定理可得所以二面角的余弦值所成角的正弦等于答案在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为答案已知正方形的边长为，⊥平面分别为的中点求证∥平面求二面角的余弦值思维启迪易知为的中位线根据⊥平面构建空间直角坐标系证明连⊥，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则，可得设平面面，为平面的个法向量，由图可知所求二面角为锐角，二面角的余弦值为思维升华运用空间向量坐标运，即两平面的法向量的夹角不定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数