𝑎𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛−𝑎𝑛𝑛𝑛−𝑛𝑛𝑛−𝑛𝑛𝑛𝑛,所以𝑛𝑛综上,数列𝑎𝑛𝑛的前项和𝑛𝑛题型题型的通项公式为题型题型二题型三设数列𝑎𝑛𝑛的前项和为,即𝑎𝑎𝑛𝑛,则𝑆𝑛𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛两式相减可得,𝑆𝑛𝑎满足,求数列的通项公式求数列的前项和𝑎𝑛𝑛解设等差数列的公差为由已知条件可得𝑎𝑑,𝑎𝑑解得𝑎,𝑑故数列𝑛𝑛𝑛,𝑛𝑛𝑛𝑛两式相减,得𝑛−𝑛𝑛𝑛−𝑛𝑛所以𝑛𝑛题型题型二题型三对点训练已知等差数列题意得,设数列的公差为,则,故,从而所以的通项公式为设𝑎𝑛𝑛的前项和为,由知𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛,则𝑛的公比,然后作差求解例已知是递增的等差数列是方程的根求的通项公式求数列的前项和𝑎𝑛𝑛题型题型二题型三解方程的两根为由,即非等差等比数列的求和问题突破策略错位相减法如果个数列的各项是由个等差数列和个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前项和即可用此法来求,即和式两边同乘以等比数列,题型题型二题型三证明在等比数列中,𝑏𝑏由,即,解得是以为首项,为公比的等比数列,𝑛值及在等比数列中,若等比数列的前项和为,求证数列为等比数列𝑇𝑛解由已知即,由已知𝑛𝑛𝑞𝑞,𝑎题型题型二题型三对点训练已知等差数列的公差为,其前项和,求的为等差数列,且公差解设数列的公差为,𝑏𝑑解得𝑏,𝑑的前项和及数列的通项𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛题型题型二题型三证明,𝑎𝑛𝑎𝑛为常数数列有时,有常数,或时,有常数例在等比数列中,公比,设,且,求证数列是等差数列求数列题型三题型二证明数列为等差或等比数列突破策略定义法用定义法证明个数列是等差数列,常采用的两个式子和,前者必须加上,否则时无意义在等比数列中也又,数列为等差数列𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛故𝑛𝑛题型题型二公比为,由,可得𝑞又即解得或故数列的通项公式为题型题型二题型三由得构成等差数列求数列的通项公式令求数列的前项和解由已知得𝑎𝑎𝑎,𝑎𝑎𝑎⇒设数列的公,构成等差数列求数列的通项公式令求数列的前项和解由已知得𝑎𝑎𝑎,𝑎𝑎𝑎⇒设数列的公比为,由,可得𝑞又即解得或故数列的通项公式为题型题型二题型三由得,又,数列为等差数列𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛故𝑛𝑛题型题型二题型三题型二证明数列为等差或等比数列突破策略定义法用定义法证明个数列是等差数列,常采用的两个式子和,前者必须加上,否则时无意义在等比数列中也有时,有常数,或时,有常数例在等比数列中,公比,设,且,求证数列是等差数列求数列的前项和及数列的通项𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛题型题型二题型三证明,𝑎𝑛𝑎𝑛为常数数列为等差数列,且公差解设数列的公差为,𝑏𝑑解得𝑏𝑛𝑛𝑞𝑞,𝑎题型题型二题型三对点训练已知等差数列的公差为,其前项和,求的值及在等比数列中,若等比数列的前项和为,求证数列为等比数列𝑇𝑛解由已知即,由已知题型题型二题型三证明在等比数列中,𝑏𝑏由,即,解得是以为首项,为公比的等比数列,即非等差等比数列的求和问题突破策略错位相减法如果个数列的各项是由个等差数列和个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前项和即可用此法来求,即和式两边同乘以等比数列的公比,然后作差求解例已知是递增的等差数列是方程的根求的通项公式求数列的前项和𝑎𝑛𝑛题型题型二题型三解方程的两根为由题意得,设数列的公差为,则,故,从而所以的通项公式为设𝑎𝑛𝑛的前项和为,由知𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛,则𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑛𝑛𝑛𝑛两式相减,得𝑛−𝑛𝑛𝑛−𝑛𝑛所以𝑛𝑛题型题型二题型三对点训练已知等差数列满足,求数列的通项公式求数列的前项和𝑎𝑛𝑛解设等差数列的公差为由已知条件可得𝑎𝑑,𝑎𝑑解得𝑎,𝑑故数列的通项公式为题型题型二题型三设数列𝑎𝑛𝑛的前项和为,即𝑎𝑎𝑛𝑛,则𝑆𝑛𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛两式相减可得,𝑆𝑛𝑎𝑎𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛−𝑎𝑛𝑛𝑛−𝑛𝑛𝑛−𝑛𝑛𝑛𝑛,所以𝑛𝑛综上,数列𝑎𝑛𝑛的前项和𝑛𝑛题型题型二题型三突破策略二裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的些项可以相互抵消,从而求得其和利用裂项相消法求和时,要注意抵消后所剩余的项是前后对称的题型题型二题型三例已知等差数列的前项和满足,求的通项公式求数列的前项和𝑎𝑛𝑎𝑛答案答案关闭解设的公差为,则𝑛𝑛由已知可得𝑎𝑑解得,故的通项公式为由知𝑎𝑛𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛,从而数列𝑎𝑛𝑎𝑛的前项和为𝑛𝑛𝑛𝑛题型题型二题型三对点训练等比数列的各项均为正数,且,求数列的通项公式设,求数列的前项和𝑏𝑛解设数列的公比为由𝑎得𝑎𝑎,所以由条件可知,故由得,所以故数列的通项公式为𝑛𝑎题型题型二题型三𝑛𝑛故𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑏𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛所以数列𝑏𝑛的前项和为𝑛𝑛解决等差等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差等比数列的定义通项公式及前项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量,减少差错证明数列为等差数列或等比数列主要依据定义,尽管题目给出的条件多种多样,但个总体目标是把条件转化成与的差或比为定值高考对数列求和的考查主要是两基本数列的公式求和能通过错位相减后转化为等比数列求和裂项相消法求和𝑎𝑛解答题增分专项三高考中的数列从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有等差等比数列的综合问题证明个数列为等差或等比数列求数列的通项及非等差等比数列的前项和等命题规律是解答题每两年出现次,命题特点是试题题型规范方法可循难度稳定在中档题型题型二题型三题型等差等比数列的综合问题突破策略公式法对于等差等比数列,求其通项及求前项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可例已知等差数列的公差不为零且成等比数列求的通项公式求题型题型二题型三解设的公差为由题意即于是又,舍去故令由知,故是首项为,公差为的等差数列从而𝑛𝑛𝑎题型题型二题型三对点训练已知等比数列中公比为的前项和,证明𝑎𝑛设,求数列的通项公式答案答案关闭证明𝑛𝑛𝑎𝑛解𝑛𝑛的通项公式为𝑛𝑛题型题型二题型三突破策略二转化法无论是求数列的通项还是求数列的前项和,通过变形整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列的通项公式或求和公式解决问题题型题型二题型三例云南检测在数列中数列是首项为,公比为的等比数列求求数列的前项和𝑎𝑛𝑛答案答案关闭解数列是首项为,公比为的等比数列,𝑎𝑛𝑛−𝑎𝑛𝑛,数列𝑎𝑛𝑛是首项为,公差为的等差数列,数列𝑎𝑛𝑛的前项和𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛题型题型二题型三对点训练设是公比大于的等比数列,为数列的前项和,已知,且构成等差数列求数列的通项公式令求数列的前项和解由已知得𝑎𝑎𝑎,𝑎𝑎𝑎⇒设数列的公比为,由,可得𝑞又即解得或故数列的通项公式为题型题型二题型三由得,又,数列为等差数列𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛故𝑛𝑛题型题型二题型三题型二证明数列为等差或等比数列突破策略定义法用定义法证明个数列是等差数列,常采用的两个式子和,前者必须加上,否则时无意义在等比数列中也有时,有常数,或时,有常数例在等比数列中,公比,设,且,求证数列是等差数列求数列的前公比为,由,可得𝑞又即解得或故数列的通项公式为题型题型二题型三由得,题型三题型二证明数列为等差或等比数列突破策略定义法用定义法证明个数列是等差数列,常采用的两个式子和,前者必须加上,否则时无意义在等比数列中也的前项和及数列的通项𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛题型题型二题型三证明,𝑎𝑛𝑎𝑛为常数数列𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞,𝑎题型题型二题型三对点训练已知等差数列的公差为,其前项和,求的,题型题型二题型三证明在等比数列中,𝑏𝑏由,即,解得是以为首项,为公比的等比数列,𝑛的公比,然后作差求解例已知是递增的等差数列是方程的根求的通项公式求数列的前项和𝑎𝑛𝑛题型题型二题型三解方程的两根为由𝑛𝑛𝑛,𝑛𝑛𝑛𝑛两式相减,得𝑛−𝑛𝑛𝑛−𝑛𝑛所以𝑛𝑛题型题型二题型三对点训练已知等差数列的通项公式为题型题型二题型三设数列𝑎𝑛𝑛的前项和为,即𝑎𝑎𝑛𝑛,则𝑆𝑛𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛两式相减可得,𝑆𝑛𝑎