视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点弦长角度相关的问题定点问题是解析几何中的种常见问题,基本的求解思想是先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素直线与曲线相交判别式曲线上点的坐标的范围题目中给出的限制条件其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系最后利用函数或不等式求变量的取值范围解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何知识加以解决如抛物线上的点到个定点和焦点的距离之和光线反射问题等代数法是建立求解目标关于个或两个变量的函数,通过求解函数的最值普通方法基本不等式方法导数方法等解决解答题增分专项五高考中的解析几何从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同份试卷上多题型考查对圆锥曲线的考查在解答题部分主要例如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点,与直线相交于点,证明以为直径的圆恒过轴上定问题化为单参数问题解决证明直线过定点的基本思想是使用个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出,的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点题型题型二题型三题型四题型五题型六是直线的斜率截距,也可能是动点的坐标等,使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数曲线中的定值定点问题求解定点和定值问题的基本思想是致的,定值是证明求解的个量与参数无关,定点问题是求解的个点或几个点的坐标,使得方程的成立与参数值无关解这类试题时要会合理选择参数参数可能,令,得𝑎𝑎,解得,此时直线与曲线相切,有且只有个公共点综上所述,当,或时,直线与曲线恰有个公共点题型题型二题型三题型四题型五题型六题型四圆锥方程组恰有组解𝑥当时,消去,得𝑎𝑎当𝑎𝑎,即时,方程变为元次方程,方程恰有组解𝑥若𝑎𝑎,即时与有两个不同的公共点题型题型二题型三题型四题型五题型六对点训练直线与曲线恰有个公共点,求实数的值解联立方程𝑦𝑎𝑥,𝑦𝑎𝑥当时,此没有公共点当,即时,显然方程只有解当时,即时,方程只有解故当或时,与有唯公共点当,且时,即且时,方程有两解𝑦,题型题型二题型三题型四题型五题型六解将直线与双曲线方程联立消去,得当时,有当,且时,与为抛物线,则与抛物线的对称轴平行例已知直线,双曲线,当为何值时与没有公共点与有唯公共点与有两个不同的公共点𝐴𝑥𝐵𝑦𝐶,�锥曲线由消去或消去得若则⇔相交⇔相离⇔相切若,得到个次方程为双曲线,则与双曲线的渐近线平行点到直线的距离是𝑡𝑡设的面积为,所以𝑡题型题型二题型三题型四题型五题型六题型三直线与圆锥曲线的位置关系设直线,圆�解得𝑥𝑡𝑡,𝑦𝑡𝑡因此,点的坐标为𝑡𝑡,𝑡𝑡题型题型二题型三题型四题型五题型六由知𝑡和直线的方程𝑥消去,整理得,由于直线与抛物线相切,得因此,点的坐标为,设圆的圆心为点的坐标为由题意知点,关于直线对称,故𝑦𝑥�为切点求点,的坐标求的面积题型题型二题型三题型四题型五题型六解由题意知直线的斜率存在,故可设直线的方程为,由𝑦𝑘𝑥𝑡,𝑦题型题型二题型三题型四题型五题型六对点训练浙江,文如图,已知抛物线,圆,过点作不过原点的直线,分别与抛物线和圆相切设其坐标为取点的坐标为则的方程为题型题型二题型三题型四题型五题型六所以𝑥,得舍去所以,圆心为此时圆的方程为𝑥设其坐标为取点的坐标为则的方程为题型题型二题型三题型四题型五题型六所以𝑥,得舍去所以,圆心为此时圆的方程为𝑥题型题型二题型三题型四题型五题型六对点训练浙江,文如图,已知抛物线,圆,过点作不过原点的直线,分别与抛物线和圆相切为切点求点,的坐标求的面积题型题型二题型三题型四题型五题型六解由题意知直线的斜率存在,故可设直线的方程为,由𝑦𝑘𝑥𝑡,𝑦𝑥消去,整理得,由于直线与抛物线相切,得因此,点的坐标为,设圆的圆心为点的坐标为由题意知点,关于直线对称,故𝑦𝑥𝑡解得𝑥𝑡𝑡,𝑦𝑡𝑡因此,点的坐标为𝑡𝑡,𝑡𝑡题型题型二题型三题型四题型五题型六由知𝑡和直线的方程点到直线的距离是𝑡𝑡设的面积为,所以𝑡题型题型二题型三题型四题型五题型六题型三直线与圆锥曲线的位置关系设直线,圆锥曲线由消去或消去得若则⇔相交⇔相离⇔相切若,得到个次方程为双曲线,则与双曲线的渐近线平行为抛物线,则与抛物线的对称轴平行例已知直线,双曲线,当为何值时与没有公共点与有唯公共点与有两个不同的公共点𝐴𝑥𝐵𝑦𝐶𝑦,题型题型二题型三题型四题型五题型六解将直线与双曲线方程联立消去,得当时,有当,且时,与没有公共点当,即时,显然方程只有解当时,即时,方程只有解故当或时,与有唯公共点当,且时,即且时,方程有两解,与有两个不同的公共点题型题型二题型三题型四题型五题型六对点训练直线与曲线恰有个公共点,求实数的值解联立方程𝑦𝑎𝑥,𝑦𝑎𝑥当时,此方程组恰有组解𝑥当时,消去,得𝑎𝑎当𝑎𝑎,即时,方程变为元次方程,方程恰有组解𝑥若𝑎𝑎,即时,令,得𝑎𝑎,解得,此时直线与曲线相切,有且只有个公共点综上所述,当,或时,直线与曲线恰有个公共点题型题型二题型三题型四题型五题型六题型四圆锥曲线中的定值定点问题求解定点和定值问题的基本思想是致的,定值是证明求解的个量与参数无关,定点问题是求解的个点或几个点的坐标,使得方程的成立与参数值无关解这类试题时要会合理选择参数参数可能是直线的斜率截距,也可能是动点的坐标等,使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决证明直线过定点的基本思想是使用个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出,的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点题型题型二题型三题型四题型五题型六例如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点,与直线相交于点,证明以为直径的圆恒过轴上定点题型题型二题型三题型四题型五题型六解依题意,设,由三角函数定义,得,因为点,在上,所以,解得故抛物线的方程为证明由知,设则所以直线,即𝑥由𝑦𝑥𝑥𝑥得𝑥𝑥𝑥,𝑦所以𝑥𝑥,设若以为直径的圆恒过定点,则𝑀𝑃𝑀𝑄对满足𝑥的,恒成立由于𝑀𝑃𝑀𝑄𝑥�直线过定点,综上可知,直线过定点,定点坐标为,题型题型二题型三题型四题型五题型六题型五圆锥曲线中的参数范围与最值问题圆锥曲线中的参数范围与最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系不等关系函数关系等,通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式求函数值域最值等方法确定求解目标的取值范围和最值在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束圆锥曲线上点的坐标范围等题型题型二题型三题型四题型五题型六例已知椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线𝑦的焦点重合,过点,且不垂直于轴的直线与椭圆相交于,两点求椭圆的方程求𝑂𝐴𝑂𝐵的取值范围题型题型二题型三题型四题型五题型六解由题意知𝑐𝑎又双曲线的焦点坐标为椭圆的方程为𝑥𝑦题型题型二题型三题型四题型五题型六若直线的倾斜角为,则𝑂𝐴𝑂𝐵,当直线的倾斜角不为时,直线可设为,𝑥𝑚𝑦𝑥𝑦⇒,由⇒⇒设𝑚𝑚𝑂𝐴𝑂𝐵综上所述𝑂𝐴𝑂𝐵的取值范围为,题型题型二题型三题型四题型五题型六于是𝐹𝐴𝐹𝐵𝑦𝑚𝑥𝑚𝑚𝑚𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚令,则,于是𝐹𝐴𝐹𝐵𝑡𝑡𝑡𝑡所以𝐹𝐵的取值范围为,题型题型二题型三题型四题型五题型六对点训练如图,已知点,为抛物线内的个定点,过作斜率分别为,的两条直线交抛物线于点且,分别是,的中点若求三角形面积的最小值若,求证直线过定点题型题型二题型三题型四题型五题型六解当时,为抛物线的焦点⊥设方程为,由𝑦𝑘𝑥得,中点𝑥𝑥𝑘同理,点𝑘当且仅当𝑘𝑘,即时,的面积取最小值题型题型二题型三题型四题型五题型六证明设方程为由𝑦𝑘𝑥𝑚得中点𝑥𝑥𝑘𝑚同理,点𝑘𝑚𝑦𝑀𝑦𝑁𝑥𝑀𝑥𝑁𝑘𝑘𝑘𝑘即直线恒过定点,题型题型二题型三题型四题型五题型六题型六圆锥曲线中的探索问题解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确例已知中心在坐标原点的椭圆经过点且点,为其右焦点求椭圆的方程是否存在平行于的直线,使得直线与椭圆有公共点,且直线与的距离等于若存在,求出直线的方程若不存在,说明理由题型题型二题型三题型四题型五题型六解依题意,可设椭圆的方程为𝑥𝑎𝑦𝑏,且可知其左焦点为,从而有𝑐解得𝑐,𝑎又,所以,故椭圆的方程为𝑥𝑦题型题型二题型三题型四题型五题型六假设存在符合题意的直线,设其方程为由𝑦𝑥𝑡得因为直线与椭圆有公共点,所以,解得另方面,由直线与的距离,得𝑡,解得由于∉所以符合题意的直线不存在题型题型二题型三题型四题型五题型六对点训练求椭圆的方程是经过右焦点的任弦不经过点,设直线与直线相交于点,记的斜率分别为,问是否存在常数,使得若存在,求的值若不存在,请说明理由已知椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏经过点离心率,直线的方程为解由,在椭圆上,得𝑎𝑏依题设知,则将代入,解得故椭圆的方程为𝑥𝑦题型题型二题型三题型四题型五题型六由题意可设的斜率为,则直线的方程为代入椭圆方程,并整理,得设则有𝑘𝑘,𝑘𝑘在方程中令,得的坐标为,从而𝑦𝑥𝑘注意到三点共线,则有,即有𝑦𝑥𝑦𝑥所以𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥−𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥题型题型二题型三题型四题型五题型六将代入,得𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘又,所以故存在常数符合题意直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有从方程的观点出发,利用根与系数的关系进行讨论,这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时注意在适当时利用图形的平面几何