1、与反向综上，的取值范围为，，思维升华根据平，设即，又，与的夹角为钝角，即已知与的夹角为钝角，则的取值范围是答案，，解析由⊥得，即又的最大值为命题点求向量的夹角例重庆若非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为若向量，问题转化为圆上的点与点，间距离的最大值圆心，与点，之间的距离为，故设由，及知，即动点的轨迹为以点为圆心的单位圆又系中，为原点，动点满足，则的最大值是答案解析因为向量，均为单位向量，它们的夹角为，所以题型二用数量积求向量的模夹角命题点求向量的模例已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则湖南在平面直角坐标，即又因为所以由题意知由，得因为，所以中，已知，则已知正方形的边长为。

2、可得所以故答案为，已知中，角的对边分别为向量且⊥求当取得最大值时，求和解由，即，又得又所以当时，最大由正弦定理，得，所以，步步高江苏专用版高考数学轮复习第五章平面向量平面向量的数量积文向量的夹角已知两个非零向量和，作则就是向量与的夹角，向量夹角的范围是，平面向量的数量积定义设两个非零向量，的夹角为，则数量叫做与的数量积或内积，记作投影叫做向量在方向上的投影，叫做向量在方向上的投影几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积平面向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，为与或的夹角则⊥⇔当与同向时，当与反向时特别地或平面向量数量积满足的运。

3、量在方向上的投影几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积平面向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，为与或的夹角则，，若⊥，求的值若与的夹角为，求的值解因为⊥所以，即，所以，题型三平面向量与三角函数例广东在平面直角坐标系中，已知向量，即，在中，若，则的最小值是答案解析，最值的方法求解几何法数形结合法，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则面向量数量积的定义，可以求向量的模夹角，解决垂直夹角问题两向量夹角为锐角的充要条件是且两向量不共线求向量模的最值范围的方法代数法，把所求的模表示成个变量的函数，再用求，又若，则，即当时，。

4、内心”或“外心”答案垂心解析，⊥，即为底边上的高所在直线同理，故是的垂心已知求与的夹角求若求的面积解又，又与的夹角，又在中，角的对边分别为，向量且求的值若求角的大小及向量在方向上的投影解由，得，所以因为，所以由正弦定理，得，则，因为，所以，则由余弦定理得，解得，故向量在方向上的投影为组专项能力提升时间分钟湖南改编已知点在圆上运动，且⊥若点的坐标为则的最大值为答案解析由在圆上，且⊥，所以为圆直径，故设则且所以，故，所以时有最大值在中设点，满足若，则答案解析即如图，在矩形中，点为的中点，点在上，若，则的值是答案解析依题意得已知中，且则的取值范围是答案，解析因为，所以，即，可得由，可得，设，则有⇒因为。

5、则答案解析由，得因为，所以，即又因为所以由题意知题型二用数量积求向量的模夹角命题点求向量的模例已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则湖南在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是答案解析因为向量，均为单位向量，它们的夹角为，所以设由，及知，即动点的轨迹为以点为圆心的单位圆又，问题转化为圆上的点与点，间距离的最大值圆心，与点，之间的距离为，故的最大值为命题点求向量的夹角例重庆若非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为数量积文向量的夹角已知两个非零向量和，作则就是向量与的夹角，向量夹角的范围是，平面向量的数量积定义设两个非零向量，的夹角为，则数量叫做与的数量积或内积，记作投影叫做向量在方向上的投影，叫做。

6、为的中点，则答案解析中，已知，则已知正方形的边长为，为的中点，则答案解析由，得因为，所以，即又因为所以由题意知题型二用数量积求向量的模夹角命题点求向量的模例已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则湖南在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是答案解析因为向量，均为单位向量，它们的夹角为，所以设由，及知，即动点的轨迹为以点为圆心的单位圆又，问题转化为圆上的点与点，间距离的最大值圆心，与点，之间的距离为，故的最大值为命题点求向量的夹角例重庆若非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为若向量已知与的夹角为钝角，则的取值范围是答案，，解析由⊥得，即又，设即，又，与的夹角为钝角，即，又若，则，即当。

7、律为实数平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量则，由此得到若则或设则，两点间的距离设两个非零向量则⊥⇔思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”向量在另个向量方向上的投影为数量，而不是向量两个向量的数量积是个实数，向量的加减数乘运算的运算结果是向量在四边形中，且，则四边形为矩形两个向量的夹角的范围是由可得或已知向量与的夹角为，且则答案解析由题意可得，即，由此求得山东改编已知菱形的边长为，，则答案解析如图所示，由题意，得已知单位向量，的夹角为，且，若向量，则答案解析已知为圆上的三点，若，则与的夹角为答案解析由可知点为的中点，即为圆的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以，所以与的夹角为教材改编已知与的夹角，则向。

8、若为边的三等分点，则答案解析若，则，即有，为边的三等分点，则的外接圆圆心为，半径为且，则在方向上的投影为答案解析如图，设为的中点，由，得，点共线且，又为的外心，为的中垂线，与的夹角为，在方向上的投影为在中，是的中点点在上，且满足，则的值为答案解析由题意得，所以如图，在中，为中点，若，则答案解析因为，所以，又，所以，所以，所以在中，若，则点是的填“重心”“垂心”“，，，，，，，，，，，，!，!，，!!，，，，，，!，，学年度第二学期期末检测试题高二英语本试卷分为。

9、在向量方向上的投影为答案解析由数量积的定义知，在方向上的投影为题型平面向量数量积的运算例四川设四边形为平行四边形，若点，满足则已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为答案解析方法以射线，为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，则设则所以，因为所以故的最大值为方法二由图知，无论点在哪个位置，在方向上的投影都是当运动到点时，在方向上的投影最大即为，思维升华求两个向量的数量积有三种方法利用定义利用向量的坐标运算利用数量积的几何意义解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算，但定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补如图，在平行四边形中，已知，则已知正方形的边长为，为的中点。

10、的解题思路题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等怀化二模已知为坐标原点，向量，如，不能得出，两边不能约去个向量两个向量的夹角为锐角，则有，反之不成立两个向量夹角为钝角，则有，反之不成立组专项基础训练时间分钟若向量，满足，与的夹角为，则答案解析，已知向量，若向量，的夹角为，则实数答案解析，，设向量，是夹角为的单位向量，若则向量在方向上的投影为答案解析向量，是夹角为的单位向量，又，，向量在方向上的投影为如图，在中。

11、卷选择题和第二卷非选择题两部分。共分，考试时间分钟。第卷三部分，共分第部分听力第节听下面段对话。每段对话后有个小题，从题中所给的三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。听完每段对话后，你都有秒钟的时间来回答有关小题和阅读下小题。每段对话仅读遍。第二节听下面段对话或独白。每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题秒钟听完后，各小题将给出秒钟的作答时间。每段对话或独白读两遍。听第段材料，回答第题。听第段材料，回答第题。听第段材料，回答第至题。听第段材料，回答第至题。

12、，即与反向综上，的取值范围为，，思维升华根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模夹角，解决垂直夹角问题两向量夹角为锐角的充要条件是且两向量不共线求向量模的最值范围的方法代数法，把所求的模表示成个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法数形结合法，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则在中，若，则的最小值是答案解析，，即，题型三平面向量与三角函数例广东在平面直角坐标系中，已知向量，若⊥，求的值若与的夹角为，求的值解因为⊥所以，即，所以，所以因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，即思维升华平面向量与三角函数的综合问。

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