函数的问题，定要注意函数的定义域对可化为或形式的方程或不等式，常借助换元，则∈故当时当时，故所求函数值域为，设，在上为减函数，函数思维点拨求函数值域，可利用换元法，设，将原函数的值域转化为关于的二次函数的值域根据复合函数的单调性同增异减进行探求解析因为∈所以若令换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例函数在区间，上的值域是函数的单调减区间为∞上单调递增，则有，即，所以的取值范围是∞，令，则有，根据二次函数的图象可求得，结合指数函数的图象可得，即答案∞解析令，则在区间，∞上单调递增，在区间∞，上单调递减而为上的增函数，所以要使函数在，注意底数不确定时，对底数的分类讨论已知函数为常数，若在区间，∞上是增函数，则的取值范围是函数的值域为解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数的取值范围，并在必要时进行分类讨论解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质如奇偶性周期性相结合，同时要特别，此时即在时取得最小值思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值或法简单的指数方程或不等式的求令，则在，∞为增函数由可知，即，所以原函数为，所以当时，为，所以，即，所以或或因为，所以，即，所以或舍去所以因为，所以，又且≠，所以因为，所以在上为增函数，原不等式可化等式的解集若，且，求在，∞上的最小值解因为是定义域为的奇函数，所以，所以，即，故命题点解简单的指数方程或不等式例设函数此时且≠是定义域为的奇函数若，试求不函数在上是增函数正确中问题转化为比较与的大小在上是增函数，正确为减函数，即，又，④设，，，则的大小关系是答案④解析中，函，④设，，，则的大小关系是答案④解析中，函数在上是增函数正确中问题转化为比较与的大小在上是增函数，正确为减函数，即，又故命题点解简单的指数方程或不等式例设函数此时且≠是定义域为的奇函数若，试求不等式的解集若，且，求在，∞上的最小值解因为是定义域为的奇函数，所以，所以，即，因为，所以，又且≠，所以因为，所以在上为增函数，原不等式可化为，所以，即，所以或或因为，所以，即，所以或舍去所以令，则在，∞为增函数由可知，即，所以原函数为，所以当时此时即在时取得最小值思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值或法简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数的取值范围，并在必要时进行分类讨论解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质如奇偶性周期性相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论已知函数为常数，若在区间，∞上是增函数，则的取值范围是函数的值域为答案∞解析令，则在区间，∞上单调递增，在区间∞，上单调递减而为上的增函数，所以要使函数在，∞上单调递增，则有，即，所以的取值范围是∞，令，则有，根据二次函数的图象可求得，结合指数函数的图象可得，即换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例函数在区间，上的值域是函数的单调减区间为思维点拨求函数值域，可利用换元法，设，将原函数的值域转化为关于的二次函数的值域根据复合函数的单调性同增异减进行探求解析因为∈所以若令，则∈故当时当时，故所求函数值域为，设，在上为减函数，函数的减区间即范恒成立问题般与函数最值有关，要与方程有解区别开来复合函数的问题，定要注意函数的定义域对可化为或形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后新元的范围组专项基础训练时间分钟已知函数解析若函数，≠，满足，则的单调递减区间是答案，∞解析由得，所以或舍去，即由于在∞，上递减，在，∞上递增，所以在∞，上递增，在，∞上递减若关于的方程且≠有两个不等实根，则的取值范围是答案，解析方程且≠有两个实数根转化为函数与有两个交点当时，如图，而不符合要求综上，的图象经过点如图所示，则的最小值为答案解析由函数的图象经过点得，所以，又，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为已知正数满足，函数，若实数满足，则的大小关系为答案解析，或舍函数在上递增，由，得已知函数，函数所以函数的最小值是已知函数若，求的单调区间若有最大值，求的值解当时，，令，由于在∞，上单调递增，在，∞上单调递减，而在上单调递减，所以在∞，上单调递减，在，∞上单调递增，即函数的单调递增区间是，∞，单调递减区间是∞，令，，由于有最大值，所以应有最小值，因此必有解得，即当有最大值时，的值为已知函数∈，且为自然对数的底数判断函数的单调性与奇偶性是否存在实数，使不等式对切∈都成立若存在，求出若不存在，请说明理由解，，对任意∈都成立，在上是增函数的定义域为，且，是奇函数存在由知在上是增函数和奇函数，则对切∈都成立，⇔对切∈都成立，⇔对切∈都成立，⇔对切∈都成立，⇔⇔，又，，存在，使不等式对切∈都成立组专项能力提升时间分钟函数，≠的值域为，∞，则与的大小关系是答案解析由题意知，由单调性知，已知函数，∈当时，取得最小值，则在直角坐标系中函数的图象为答案解析，取等号时，此时所以则的图象可以看作是的图象向左平移个单位得到的，符合要求关于的方程有负数根，则实数的取值范围为答案，解析由题意，得，所以，从而，在，上为减函数在，上为减函数即∈，同理，在，上时，∈，又，当∈，∪或时，方程在∈，上有实数解步步高江苏专用版高考数学轮复习第二章函数概念与基本初等函数指数与指数函数文分数指数幂规定正数的正分数指数幂的意义是∈，且正数的负分数指数幂的意义是∈，且的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的运算性质，其中∈指数函数的图象与性质时，当时，在∞，∞上是增函数在∞，∞上是减函数思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或分数指数幂可以理解为个相乘函数是上的增函数函数的值域是，∞函数是指数函数函数，且≠的图象经过定点坐标为答案，解析令得，此时，所以点，与无关，所以函数，且≠的图象过定点，函数，≠的图象可能是填图象序号答案④解析函数的图象恒过，点，只有图象④适合计算答案解析若函数在∞，∞上为减函数，则实数的取值范围是答案，∪，解析由在∞，∞上为减函数，得即或函数的值域是答案，解析，函数的值域为，题型指数幂的运算例化简，解原式原式思维升华指数幂的运算首先将根式分数指数幂统为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意必须同底数幂相乘，指数才能相加运算的先后顺序当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数答案解析原式原式题型二指数函数的图象及应用例函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是④，则下列结论中，定成立的是④答案④解析，它与函数的图象关于轴对称作出函数的图象，如图结合图象知，④设，，，则的大小关系是答案④解析中，函数在上是增函数正确中问题转化为比较与的大小在上是增函数，正确为减函数，即，又故命题点解简单的指数方程或不等式例设函数此时且≠是定义域为的奇函数若，试求不等式的解集若，且，求在，∞上的最小值解因为是定义域为的奇函数，所以，所以，即，因为，所以，又且≠，所以因为，所以在上为增函数，原不等式可化为函数在上是增函数正确中问题转化为比较与的大小在上是增函数，正确为减函数，即，又等式的解集若，且，求在，∞上的最小值解因为是定义域为的奇函数，所以，所以，即，为，所以，即，所以或或因为，所以，即，所以或舍去所以，此时即在时取得最小值思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值或法简单的指数方程或不等式的求注意底数不确定时，对底数的分类讨论已知函数为常数，若在区间，∞上是增函数，则的取值范围是函数的值域为∞上单调递增，则有，即，所以的取值范围是∞，令，则有，根据二次函数的图象可求得，结合指数函数的图象可得，即思维点拨求函数值域，可利用换元法，设，将原函数的值域转化为关于的二次函数的值域根据复合函数的单调性同增异减进行探求解析因为∈所以若令的减区间即范恒成立问题般与函数最值有关，要与方程有解区别开来复合函数的问题，定要注意函数的定义域对可化为或形式的方程或不等式，常借助换元，所以在上