坐标为，因为⊥，⊥，所以总存在经过，四点的圆，且该圆以为直径若⊥轴，则∥轴，此时四边形为矩形，若与轴不垂直，则两条直线斜率都存在不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为所以直线的方程为，从而直线的方程为，从而，令，解得∈注意到≠，所以∈，∪，此时所以半径的最小值为此时圆的方程为步步高江苏专用版高考数学轮复习第九章平面解析几何圆的方程文圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆确定个圆最基本的要素是圆心和半径圆的采用以下方法直接法直接根据题目提供的条件列出方程定义法根据圆直线等定义列方程几何法利用圆的几何性质列方程④代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等已知圆上定，在圆上，故因此所求轨迹为圆，但应除去两点，和，点在直线上的情况思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常所示，设则线段的中点坐标为线段的中点坐标为，由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而，又，可得，所以的最大值为，最小值为题型三与圆有关的轨迹问题例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹解如图又所以，可知表示直线的斜率，设直线的方程为，即，则由直线与圆有交点，所以上任意点，且点，求的最大值和最小值若求的最大值和最小值解由圆，可得，所以圆心的坐标为半径上的动点，是直线上的动点，则的最小值为答案解析的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为半径为，所以的最小值已知为圆斜率的最值问题形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题形如型的最值问题，可转化为动点到定点，的距离平方的最值问题设是圆题的解法般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解与圆上点，有关代数式的最值的常见类型及解法形如型的最值问题，可转化为过点，和点，的直线的最大值和最小值如图又因为圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值为思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略与圆有关的长度或距离的最值问故，命题点距离型最值问题例在例条件下，求的最大值和最小值解表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得角为命题点截距型最值问题例在例条件下，求的最小值和最大值解设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，截距取最小值，由点到直线的距离公式，得，即，的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大最小值由，解得也可由平面几何知识，得，直线的倾斜角为，直线的倾斜满足方程，则的最大值为，最小值为答案解析如图，方程表示以点，为圆心，以为半径的圆设，即，则圆心，到直线，即，联立，解得所以圆心坐标为半径，所以圆的方程为题型二与圆有关的最值问题命题点斜率型最值问题例已知实数解析由题意知圆的圆心为半径为，所以圆的标准方程为由已知，所以的中垂线方程为过点且垂直于直线的直线方程为的半径为，其圆心与点，关于直线对称，则圆的标准方程为过点，的圆与直线相切于点则圆的方程为答案的半径为，其圆心与点，关于直线对称，则圆的标准方程为过点，的圆与直线相切于点则圆的方程为答案解析由题意知圆的圆心为半径为，所以圆的标准方程为由已知，所以的中垂线方程为过点且垂直于直线的直线方程为，即，联立，解得所以圆心坐标为半径，所以圆的方程为题型二与圆有关的最值问题命题点斜率型最值问题例已知实数满足方程，则的最大值为，最小值为答案解析如图，方程表示以点，为圆心，以为半径的圆设，即，则圆心，到直线的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大最小值由，解得也可由平面几何知识，得，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为命题点截距型最值问题例在例条件下，求的最小值和最大值解设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，截距取最小值，由点到直线的距离公式，得，即，故，命题点距离型最值问题例在例条件下，求的最大值和最小值解表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值如图又因为圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值为思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略与圆有关的长度或距离的最值问题的解法般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解与圆上点，有关代数式的最值的常见类型及解法形如型的最值问题，可转化为过点，和点，的直线的斜率的最值问题形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题形如型的最值问题，可转化为动点到定点，的距离平方的最值问题设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为答案解析的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为半径为，所以的最小值已知为圆上任意点，且点，求的最大值和最小值若求的最大值和最小值解由圆，可得，所以圆心的坐标为半径又所以，可知表示直线的斜率，设直线的方程为，即，则由直线与圆有交点，所以，可得，所以的最大值为，最小值为题型三与圆有关的轨迹问题例设定点动点在圆上运动，以为两边作平行四边形，求点的轨迹解如图所示，设则线段的中点坐标为线段的中点坐标为，由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而，又，在圆上，故因此所求轨迹为圆，但应除去两点，和，点在直线上的情况思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法直接法直接根据题目提供的条件列出方程定义法根据圆直线等定义列方程几何法利用圆的几何性质列方程④代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等已知圆上定点，为圆内点为圆上的动点求线段中点的轨迹方程若，求线段中点的轨迹方程解设的中点为由中点坐标公式可知，点坐标为，因为点在圆上，所以，故线段中点的轨迹方程为设的中点为连结在中，设为坐标原点，连结，则⊥，所以，所以故线段中点的轨迹方程为利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程思维点上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题方法与技巧确定个圆的方程，需要三个条件选形式定参数是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算失误与防范求圆的方程需要三个条件，所以不论是设哪种圆的方程都要列出系数的三个方程过圆外定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况组专项基础训练时间分钟已知点则以线段为直径的圆的方程是答案解析的中点坐标为，圆的方程为设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是答案原点在圆外解析将圆的般方程化成标准方程为，因为，所以，即，所以原点在圆外已知圆的圆心在轴上，且圆心在直线的右侧，若圆截直线所得的弦长为，且与直线相切，则圆的方程为答案解析由已知，可设圆的圆心坐标为，半径为，得解得满足条件的组解为所以圆的方程为点，与圆上任点连线的中点的轨迹方程是答案解析设圆上任点坐标为，连线中点坐标为则⇒代入中得圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为答案解析由圆心在曲线上，设圆心坐标为又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离，当且仅当，即时取等号，所以圆心坐标为圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为若圆经过坐标原点和点且与直线相切，则圆的方程是答案解析如图，设圆心坐标为半径为，则解得圆的方程为江苏在平面直角坐标系中，以点，为圆心且与直线∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为答案解析直线恒过定点由题意，得半径最大的圆的半径故所求圆的标准方程为湖北已知圆和点若定点，≠和常数满足对圆上任意点，都有，则答案解析因为点为圆上任意点，所以不妨取圆与轴的两个交点，和，当点取，时，由，得当点取，时，由，得消去，得两边平方，化简得，解得或舍去由，得圆经过，两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为，求此圆的方程解设所求圆的方程为令，得，所以令，得，所以由题意知，即又因为圆过点，所以解组成的方程组得故所求圆的方程为在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为求圆心的轨迹方程若点到直线的距离为，求圆的方程解设圆的半径为则即点的轨迹方程为设的坐标为则，即，即当时，由得圆的方程为当时，由得圆的方程为综上所述，圆的方程为组专项能力提升时间分钟山东圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为答案解析设圆的圆心为，由题意得，且，解得，所求圆的标准方程为设为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为则四边形的面积的最小值为答案解析依题意，圆的圆心是点半径是，易知的最小值等于圆心，到直线的距离，即，而四边形的面积等于，因此四边形的面积的最小值是若圆上任意点，都使不等式恒成立，则实数的取值范围是答案，∞解析据题意圆上所有的点都在直线的右上方，所以有，解得故的取值范围是，∞已知实数满足方程，求的最大值和最小值解设，则直线与圆有公共点，故的最小值为，最大值为如图，经过，作两条互相垂直的直线和，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点若求点的坐标试问是否总存在经过，四点的圆若存在，求出半径最小的圆的方程若不存在，请说明理由解由直线经过两点得的方程为由直线⊥，且直线经过点，得的方程为所以，点的坐标为，因为⊥，⊥，所以总存在经过，四点的圆，且该圆以为直径若⊥轴，则∥轴，此时四边形为矩形，若与轴不垂直，则两条直线斜率都存在不妨设直线的斜率为