得，即的最大值为已知双曲线的条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为求此双曲线的方程设为双曲线上点两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第二象限，若，求的面积解依题意得，解得故双曲线的方程为由题意知双曲线的渐近线方程为，设其中，由得点的坐标为，将点的坐标代入，整理得设，，则，从而又得直线与双曲线右支交于，两点，故，，即所以故的取值范围，点是双曲线上点，且，求，的值解由，得故双曲线的方程为设由，将代入渐近线方程得若双曲线的离心率等于，直线与双曲线的右支交于，两点求的取值范围若线的综合问题例四川过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则答案解析右焦点过与轴垂直的直线为，渐近线方程为双曲线的方程为，在中，即题型三直线与双曲则又与垂直，则有，即，即，渐近线斜率设共点若四边形为矩形，则的离心率是答案解析由题意知，双曲线的右焦点左，右顶点分别为易求别是过作的垂线与双曲线交于，两点，若⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是，在第二四象限的公量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围重庆改编设双曲线，的右焦点是，左，右顶点分中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线中，离心率与双曲线的渐近线的斜率满足关系式求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本代入得不妨取，又双曲线右焦点的坐标为由题意，得双曲线的离心率为思维升华双曲线的几何性质点的横坐标为，则的离心率为答案解析如图为线段的中点，又把，垂足为点，与另条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为山东过双曲线的右焦点作条与其渐近线平行的直线，交于点若线上的点，则由双曲线的定义知，故曲线的标准方程为即题型二双曲线的几何性质例过双曲线的个焦点作条渐近线的垂线近线方程为，可设该双曲线的标准方程为≠，已知该双曲线过点所以，即，故所求双曲线的标准方程为由题意知椭圆的焦点坐标为设曲设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为答案解析由双曲线渐≠定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出的值，由定点位置确定的值课标全国Ⅱ已知双曲线过点且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为≠定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出的值，由定点位置确定的值课标全国Ⅱ已知双曲线过点且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为答案解析由双曲线渐近线方程为，可设该双曲线的标准方程为≠，已知该双曲线过点所以，即，故所求双曲线的标准方程为由题意知椭圆的焦点坐标为设曲线上的点，则由双曲线的定义知，故曲线的标准方程为即题型二双曲线的几何性质例过双曲线的个焦点作条渐近线的垂线，垂足为点，与另条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为山东过双曲线的右焦点作条与其渐近线平行的直线，交于点若点的横坐标为，则的离心率为答案解析如图为线段的中点，又把代入得不妨取，又双曲线右焦点的坐标为由题意，得双曲线的离心率为思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线中，离心率与双曲线的渐近线的斜率满足关系式求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围重庆改编设双曲线，的右焦点是，左，右顶点分别是过作的垂线与双曲线交于，两点，若⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是，在第二四象限的公共点若四边形为矩形，则的离心率是答案解析由题意知，双曲线的右焦点左，右顶点分别为易求则又与垂直，则有，即，即，渐近线斜率设双曲线的方程为，在中，即题型三直线与双曲线的综合问题例四川过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则答案解析右焦点过与轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入渐近线方程得若双曲线的离心率等于，直线与双曲线的右支交于，两点求的取值范围若，点是双曲线上点，且，求，的值解由，得故双曲线的方程为设由得直线与双曲线右支交于，两点，故，，即所以故的取值范围是由得，整理得，或，又由已知得再由，得，双曲线的方程为设将代入，得由题意知≠，解得当时，与双曲线左支有两个交点由得，的中点的坐标为，设直线的方程为，即分由得≠分由题意，得，解得分当时，方程成为，这样可避免讨论和复杂的计算也可设为的渐近线方程是的渐近线方程是若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况直线与双曲线交于点时，不定相切，例如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于点，但不是相切反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有个交点组专项基础训练时间分钟广东已知双曲线的离心率，且其右焦点为则双曲线的方程为答案解析因为所求双曲线的右焦点为，且离心率为，所以，所以所求双曲线方程为设直线过双曲线的个焦点，且与的条对称轴垂直，与交于，两点，为的实轴长的倍，则的离心率为答案解析设双曲线的标准方程为，由于直线过双曲线的个焦点且与对称轴垂直，因此直线的方程为或，代入得故，依题意，江西改编过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心半径为的圆经过，两点为坐标原点，则双曲线的方程为答案解析由得，由题意知右焦点到原点的距离为，，即而双曲线的方程为课标全国Ⅰ改编已知，是双曲线上的点是的两个焦点，若的长轴长短轴长焦距成等比数列，离心率为双曲线的实轴长虚轴长焦距也成等比数列，离心率为则答案解析由，得，由，得，北京已知双曲线的条渐近线为，则答案解析双曲线的渐近线为，已知条渐近线为，即，因为，所以，所以已知双曲线的个焦点是椭圆的焦距等于，则答案解析因为双曲线的焦点是所以焦点在轴上，所以双曲线的方程为，即所以，解得所以椭圆方程为，且，椭圆的焦距为，所以或，解得或舍去若点和点，分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意点，则的取值范围为答案，∞解析由条件知双曲线方程为，设点坐标为则，又为右支上任意点，浙江设直线≠与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点，满足，则该双曲线的离心率是答案解析双曲线的渐近线方程为由，得由，得所以的中点的坐标为，设直线≠，因为，所以⊥，所以，化简得在双曲线中所以已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，求双曲线方程若点，在双曲线上，求证点在以为直径的圆上在的条件下求的面积解离心率，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为≠，则由点，在双曲线上，可得，双曲线方程为证明点，在双曲线上，又双曲线的焦点为⊥，点在以为直径的圆上解组专项能力提升时间分钟已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是答案，解析由题意易知点的坐标为是锐角三角形即，整理得∈，设双曲线的中心为点，若有且只有对相交于点所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是答案，解析由双曲线的对称性知，满足题意的这对直线也关于轴或轴对称又由题意知有且只有对这样的直线，故该双曲线在第象限的渐近线的倾斜角范围是大于且小于等于，即的左右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为答案解析由定义，知又在中，由余弦定理，得要求的最大值，即求的最小值，当时，得，即的最大值为已知双曲线的条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为求此双曲线的方程设为双曲线上点两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第二象限，若，求的面积解依题意得，解得故双曲线的方程为由题意知双曲线的渐近线方程为，设其中，由得点的坐标为，将点的坐标代入，整理得设，，则，从而又步步高江苏专用版高考数学轮复习第九章平面解析几何双曲线文双曲线定义平面内到两个定点，的距离的差的绝对值等于常数小于的正数的点的轨迹叫做双曲线，两个定点，叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合其中，为常数且当时，点不存在双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围或，∈∈，或对称性对称轴坐标轴对称中心原点顶点渐近线离心率，∈，∞，其中实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长线段叫做双曲线的虚轴，它的长叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长的关系，知识拓展巧设双曲线方程与双曲线有共同渐近线的方程可表示为≠过已知两个点的双曲线方程可设为表示焦点在轴上的双曲线双曲线方程，≠的渐近线方程是，即等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于若双曲线与的离心率分别是则此结论中两条双曲线称为共轭双曲线教材改编若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为答案解析由题意得，又已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为则，答案解析与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程可设为，即由题意知，则⇒，则，又，