到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得求线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得如图，在平面直角坐标系中，点直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，⊥，⊥求动点的轨迹的方程设圆过且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，当运动时，弦长是否为定值请说明理由解依题意知，点是线段的中点，且⊥，是线段的垂直平分线点在线段的垂直平分线上又是点到直线的距离，故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为弦长为定值理由如下取曲线上点到轴的距离为，圆的半径，即，由根与系数的关系，得，将，代入椭圆的方程，得，整理，得设的焦点为椭圆的顶点，即又，故，椭圆的方程为设，联立得是椭圆上点且满足其中为坐标原点，试问在轴上是否存在点，使得为定值若存在，求出点的坐标及的值若不存在，请说明理由解抛物线维，采取另外合适的方法已知椭圆以抛物线的焦点为顶点，且离心率为求椭圆的方程若直线与椭圆相交于，两点，与直线相交于点，件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在当条件和结论不唯时要分类讨论当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思，当且仅当时取等号所以当时，的最小值为综合可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条当时，当时，因，则所以和，可得将代入得，只有个公共点，所以，即又由可得同理可得，由原点到直线的距离为为或，都有当直线的斜率存在时，设直线≠，由消去，可得因为直线总与椭圆有且，当，在轴上时，等号成立同理，当，重合，即⊥轴时，等号成立所以椭圆的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为当直线的斜率不存在时，直线与两定直线和分别交于，两点若直线总与椭圆有且只有个公共点，试探究的面积是否存在最小值若存在，求出该最小值若不存在，说明理由解因为滑动，且，当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动，处的笔尖画出的椭圆记为以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系求椭圆的方程设动直线曲线上，所以，所以，是定值题型三探索性问题例湖北种画椭圆的工具如图所示是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连结，上的栓子可沿滑槽，为准线的抛物线，其方程为弦长为定值理由如下取曲线上点到轴的距离为，圆的半径，则，因为点在为定值请说明理由解依题意知，点是线段的中点，且⊥，是线段的垂直平分线点在线段的垂直平分线上又是点到直线的距离，故动点的轨迹是以为焦点，为定值请说明理由解依题意知，点是线段的中点，且⊥，是线段的垂直平分线点在线段的垂直平分线上又是点到直线的距离，故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为弦长为定值理由如下取曲线上点到轴的距离为，圆的半径，则，因为点在曲线上，所以，所以，是定值题型三探索性问题例湖北种画椭圆的工具如图所示是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连结，上的栓子可沿滑槽滑动，且，当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动，处的笔尖画出的椭圆记为以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系求椭圆的方程设动直线与两定直线和分别交于，两点若直线总与椭圆有且只有个公共点，试探究的面积是否存在最小值若存在，求出该最小值若不存在，说明理由解因为，当，在轴上时，等号成立同理，当，重合，即⊥轴时，等号成立所以椭圆的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为当直线的斜率不存在时，直线为或，都有当直线的斜率存在时，设直线≠，由消去，可得因为直线总与椭圆有且只有个公共点，所以，即又由可得同理可得，由原点到直线的距离为和，可得将代入得，当时，当时，因，则所以，当且仅当时取等号所以当时，的最小值为综合可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在当条件和结论不唯时要分类讨论当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法已知椭圆以抛物线的焦点为顶点，且离心率为求椭圆的方程若直线与椭圆相交于，两点，与直线相交于点，是椭圆上点且满足其中为坐标原点，试问在轴上是否存在点，使得为定值若存在，求出点的坐标及的值若不存在，请说明理由解抛物线的焦点为椭圆的顶点，即又，故，椭圆的方程为设，联立得由根与系数的关系，得，将，代入椭圆的方程，得，整理，得设，即，要使为定值，只需为定值，则在轴上存在点使得为定值设而不求，整体代换典例分椭圆的左右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为求椭圆的方程点是椭圆上除长轴端点外的任点，连结设的角平分线交的长轴于点求的取值范围在的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有个公共点，设直线的斜率分别为，若≠，证明为即又，所以，故分由知，所以，因此为定值，这个定值为分温馨提醒对题目涉及的变量巧妙地引进参数如设动点坐标动直线方程等，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到设而不求，减少计算的效果，直接得定值方法与技巧求定值问题常见的方法有两种从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值定点的探索与证明问题探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关失误与防范在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况中点弦问题，可以利用点差法，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部解决定值定点问题，不要忘记特值法时间分钟已知中心在坐标原点的椭圆经过点且点，为其右焦点求椭圆的方程是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于若存在，求出直线的方程若不存在，请说明理由解依题意，可设椭圆的方程为，且可知其左焦点为，从而有解得，又，所以，故椭圆的方程为假设存在符合题意的直线，设其方程为由得因为直线与椭圆有公共点，所以，解得另方面，由直线与的距离，得，解得由于∉所以不存在符合题意的直线四川如图，椭圆的离心率是，点，在短轴上，且求椭圆的方程设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点是否存在常数，使得为定值若存在，求的值若不存在，请说明理由解由已知，点的坐标分别为又点的坐标为且，于是，解得所以椭圆的方程为当直线的斜率存在时，设直线的方程为的坐标分别为联立得，其判别式，所以从而所以当时此时为定值当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时故存在常数，使得为定值已知椭圆的两焦点在轴上，且两焦点与短轴的个顶点的连线构成斜边长为的等腰直角三角形求椭圆的方程过点，的动直线交椭圆于，两点，试问在坐标平面上是否存在个定点，使得以线段为直径的圆恒过点若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由解椭圆两焦点与短轴的个端点的连线构成等腰直角三角形，又斜边长为，即，故椭圆方程为当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为由得故若存在定点，则的坐标只可能为，下面证明，为所求若直线的斜率不存在，上述已经证明若直线的斜率存在，设直线，由得，⊥，即以线段为直径的圆恒过点，已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程过圆上任意点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值解设椭圆半焦距为，圆心到的距离，则被圆截得的弦长为，所以由题意得又椭圆的方程为证明设点过点的椭圆的切线的方程为整理得，联立直线与椭圆的方程消去，得，整理得，与椭圆相切整理得，设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为则点在圆上两条切线斜率之积为常数福建已知曲线上的点到点，的距离比它到直线的距离小求曲线的方程曲线在点处的切线与轴交于点，直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为试探究当点在曲线上运动点与原点不重合时，线段的长度是否发生变化证明你的结论解方法设，为曲线上任意点，依题意，点到，的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点，为焦点直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为当点在曲线上运动时，线段的长度不变证明如下由知抛物线的方程为，设，≠，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即由，得，由，得，又所以圆心半径，所以点在曲线上运动时，线段的长度不变方法二设，为曲线上任意点，则，依题意，点，只能在直线的上方，所以，所以，化简，得曲线的方程为同方法课时定点定值探索性问题题型定点问题例已知椭圆过点其长轴焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线与轴正半轴和轴分别交于，与椭圆分别交于点，各点均不重合且满足，求椭圆的标准方程若，试证明直线过