学轮复习第六章数列等差数列及其前项和文等差数列的定义般地，如果个数列从第二项起，每项减去它的前项所得的差都等于同个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是等差中项如果，那么叫做与的等差中项等差数列的常用性质通项公式的推广，∈若为等差数列，且，∈，则数列的前项和为，已知则当取最大值时，的值是设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取最大值时，的值为次函数最值的方法求解邻项变号法当，时，满足，的项数使得取得最大值当，时，满足，的项数使得取得最小值等差和，则„求等差数列前项和最值的两种方法函数法利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二在等差数列中，⇔≠，其几何意义是点，所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质在等差数列中，为其前项求当取何值时，取得最小值，并求出最小值解由，得，又当或时，取得最小值，最小值思维升华等差数列的性质项的性质，当或时，有最大值，且最大值为方法三由得，即当或时，有最大值，且最大值为引申探究例中，若条件改为，其他条件不变，得即当时当时，当或时，取得最大值，且最大值为方法二∈列前项和的最值例在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时，取得最大值，并求出它的最大值解，方法由因为是等差数列，所以即，成等差数列，且命题点等差数题点等差数列的性质例广东在等差数列中，若，则已知等差数列的前项和为，且则答案解析是公差为的等差数列由已知式可得，知是首项为，公差为的等差数列，所以，即题型三等差数列的性质及应用命，∈，则该数列的通项为答案解析，明数列为等差数列若是公差为的等差数列，则是公差为的等差数列公差为的等差数列公差为的等差数列④公差为的等差数列在数列中，若，通项公式法得出后，得对任意正整数恒成立，根据定义判定数列为等差数列前项和公式法得出后，根据，的关系，得出，再使用定义法证等于同个常数等差中项法证明对任意正整数都有后，可递推得出„，根据定义得出数列为等差数列即，又，是以为首项，为公差的等差数列思维升华等差数列的四个判定方法定义法证明对任意正整数都有∞上为减函数所以当时，取得最小值，当时，取得最大值引申探究例中，若条件变为探求数列的通项公式解由已知可得，即∞上为减函数所以当时，取得最小值，当时，取得最大值引申探究例中，若条件变为探求数列的通项公式解由已知可得，即，又，是以为首项，为公差的等差数列思维升华等差数列的四个判定方法定义法证明对任意正整数都有等于同个常数等差中项法证明对任意正整数都有后，可递推得出„，根据定义得出数列为等差数列通项公式法得出后，得对任意正整数恒成立，根据定义判定数列为等差数列前项和公式法得出后，根据，的关系，得出，再使用定义法证明数列为等差数列若是公差为的等差数列，则是公差为的等差数列公差为的等差数列公差为的等差数列④公差为的等差数列在数列中，若∈，则该数列的通项为答案解析，是公差为的等差数列由已知式可得，知是首项为，公差为的等差数列，所以，即题型三等差数列的性质及应用命题点等差数列的性质例广东在等差数列中，若，则已知等差数列的前项和为，且则答案解析因为是等差数列，所以即，成等差数列，且命题点等差数列前项和的最值例在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时，取得最大值，并求出它的最大值解，方法由得即当时当时，当或时，取得最大值，且最大值为方法二∈，当或时，有最大值，且最大值为方法三由得，即当或时，有最大值，且最大值为引申探究例中，若条件改为，其他条件不变，求当取何值时，取得最小值，并求出最小值解由，得，又当或时，取得最小值，最小值思维升华等差数列的性质项的性质在等差数列中，⇔≠，其几何意义是点，所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质在等差数列中，为其前项和，则„求等差数列前项和最值的两种方法函数法利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解邻项变号法当，时，满足，的项数使得取得最大值当，时，满足，的项数使得取得最小值等差数列的前项和为，已知则当取最大值时，的值是设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取最大值时，的值为已知等差数列的首项，公差，则前项和的最大值为答案或解析依题意得又数列是等差数列，因此在该数列中，前项均为正数，自第项起以后各项均为负数，于是当取最大值时，由题意得，所以，故当或时，最大因为等差数列的首项，公差，代入求和公式得，，又因为∈，所以或时，取得最大值，最大值为等差数列的前项和及其最值典例在等差数列中，技巧在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于，的方程组进行求解证明等差数列要用定义另外还可以用等差中项法，通项公式法，前项和公式法判定个数列是否为等差数列等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为等，可视具体情况而定失误与防范当公差≠时，等差数列的通项公式是的次函数，当公差时，为常数公差不为的等差数列的前项和公式是的二次函数，且常数项为若数列的前项和公式是常数项不为的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列组专项基础训练时间分钟课标全国Ⅰ改编已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则答案解析公差为，，解得，北京改编设是等差数列，下列结论中正确的是若，则若，则若，则④若，则答案解析设等差数列的公差为，若由于正负不确定，因而符号不确定，故错若，所以，所以，故正确若，则，故④错设等差数列的前项和为，若，则答案解析数列为等差数列，且前项和为，数列也为等差数列，即，解得，经检验为原方程的解数列的首项为，为等差数列，且∈，若则答案解析设的公差为，„又„„，已知数列满足，且，设的前项和为，则使得取得最大值的序号的值为答案或解析由题意可知数列是首项为，公差为的等差数列，所以，该数列前项是正数项，第项是，从第项开始是负数项，所以取得最大值时，或已知数列中，且∈，则答案解析由已知得，故已知递增的等差数列满足则答案解析设等差数列的公差为，解得，即由于该数列为递增数列，故设数列的通项公式为∈，则„答案解析由∈知是以为首项，为公差的等差数列，又由得，时当时„„在等差数列中求数列的通项公式若数列的前项和，求的值解设等差数列的公差为，则由可得，解得从而由可知，所以由，可得，即，解得或又∈，故济南模拟等差数列中，设为其前项和，且则当为多少时，最大解方法由得，则从而，又，所以故当时，最大方法二由于是关于的二次函数，由，可知的图象关于对称由方法可知，故当时，最大方法三由方法可知，要使最大，则有即，，解得，故当时，最大方法四由，可得，即，故，又由，可知，所以所以当时，最大组专项能力提升时间分钟已知正项等差数列的前项和为，若，则的最大值为答案解析在等差数列中，令，由基本不等式可得，当且仅当时成立又，，当且仅当时，成立即的最大值为设等差数列的前项和为，若，则正整数答案解析，又，解得设等差数列，的前项和分别为若对任意自然数都有，则的值为答案解析，为等差数列已知数列是首项为，公差为的等差数列若对任意的∈，都有成立，则实数的取值范围为答案，解析依题意得，对任意的∈，都有，即数列的最小项是第项，于是有又数列是公差为的等差数列，因此有即由此解得，即实数的取值范围是，已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，求通项求的最小值若数列是等差数列，且，求非零常数解因为数列为等差数列，所以又，所以，是方程的两实根，又公差，所以，所以所以所以，所以通项由知所以所以当时，最小，最小值为由知，所以，所以因为数列是等差数列，所以，即，所以，所以或舍去，经验证时，是等差数列，故步步高江苏专用版高考数学轮复习第六章数列等差数列及其前项和文等差数列的定义般地，如果个数列从第二项起，每项减去它的前项所得的差都等于同个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是等差中项如果，那么叫做与的等差中项等差数列的常用性质通项公式的推广，∈若为等差数列，且，∈，则若是等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为若，是等差数列，则也是等差数列若是等差数列，公差为，则，„，∈是公差为的等差数列等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和或等差数列的前项和公式与函数的关系数列是等差数列⇔为常数等差数列的前项和的最值在等差数列中则存在最小值思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或若个数列从第二项起每项与它的前项的差都是常数，则这个数列是等差数列数列为等差数列的充要条件是对任意∈，都有等差数列的单调性是由公差决定的数列为等差数列的充要条件是其通项公式为的次函数数列满足，则数列是等差数列已知数列的通项公式是其中，为常数，则数列定是等差数列设等差数列的前项和为若则当取最小值时，答案解析设等差数列的公差为且从而，当时，取最小值个首项为，公差为整数的等差数列，如果前项均为正数，从第项起为负数，则它的公差为答案解析，由题意知，则当时，的前项和最大答案解析因为数列是等差数列，且，所以又，所以