大值时在数列中，如果是与的等比中项，那么„的值是答案解析由题意可得，⇒，又又≠，⇒，又可知≠是以为首项，为公差的等差数列，≠，式两边同除以，得，数列是首项为，公差为的等差数列，的表达式设，求的前项和解，即，由题意得裂项后可以产生连续可以相互抵消的项抵消后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项在数列中当时，其前项和满足求，„„思维升华用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如，的图象过点令，∈记数列的前项和为，则答案解析由可得，解得，则„„所以对切正整数，有„命题点形如型例已知函数又，所以证明当时，成立当时，，所以，∈可得则或，又数列的各项均为正数，所以，所以当时，解由题意知∈令，有，可得，解得或，即或，又为正数，所以解由均为正数的数列的前项和为，且满足，∈求的值求数列的通项公式证明对切正整数，有„„，④④，得„题型三裂项相消法求和命题点形如型例设各项数列是以为首项，为公差的等差数列„，„的值解当时，解得又，当时得，即，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解已知数列的各项均为正数，是数列的前项和，且求数列的通项公式已知，求注意要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形在写出与的表达式时应特别注意将两式错项对齐以便下步准确写出的表达式在应用错位相减法求和时故，于是„，„可得„，故思维升华用错位相减法求和时，应即解得或，故或由，知即解得或，故或由，知故，于是„，„可得„，故思维升华用错位相减法求和时，应注意要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形在写出与的表达式时应特别注意将两式错项对齐以便下步准确写出的表达式在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解已知数列的各项均为正数，是数列的前项和，且求数列的通项公式已知，求„的值解当时，解得又，当时得，即数列是以为首项，为公差的等差数列„，„，④④，得„题型三裂项相消法求和命题点形如型例设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，∈求的值求数列的通项公式证明对切正整数，有„解由题意知∈令，有，可得，解得或，即或，又为正数，所以解由，∈可得则或，又数列的各项均为正数，所以，所以当时，又，所以证明当时，成立当时，，所以„„所以对切正整数，有„命题点形如型例已知函数的图象过点令，∈记数列的前项和为，则答案解析由可得，解得，则，„„思维升华用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如，裂项后可以产生连续可以相互抵消的项抵消后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项在数列中当时，其前项和满足求的表达式设，求的前项和解，即，由题意得≠，式两边同除以，得，数列是首项为，公差为的等差数列，，„„四审结构定方案典例分已知数列的前项和其中∈，且的最大值为确定常数，并求求数列的前项和是关于的二次函数时，最大根据结构特征确定的值根据求根据数列结构特征确定求和方法„错位相减法求和计算可得规范解答解当∈时，取得最大值，即，意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项组专项基础训练时间分钟数列„„的前项和的值等于答案解析该数列的通项公式为，则„„已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，∈，则的值为答案解析通过是与的等比中项，公差为，所以，所以，所以，所以，所以已知函数，且，则„答案解析若为偶数，则，所以是首项为，公差为的等差数列若为奇数，则，所以是首项为，公差为的等差数列所以„„„设数列的前项和为，若，且对任意正整数都有，则的值是答案解析因为，且对任意正整数都有，令得，即，所以是首项为，公差为的等差数列，从而有，所以，故已知函数，当为奇数时当为偶数时，且，则„答案解析由题意，得„„„„„在等差数列中，若此数列的前项和，前项和，则数列的前项和的值是答案解析由可知，„„整数数列满足∈，若此数列的前项的和是，前项的和是，则其前项的和为答案解析由，得，易得该数列是周期为的数列，且，依次可得由此可知，已知数列满足用表示不超过的最大整数，则„的值等于答案解析由，得，所以，所以„„又，所以，所以是正项递增的数列又因为，所以，即，所以已知数列中，且是等比数列求数列的通项公式若，求数列的前项和解是等比数列且，故„„„令„，则„两式相减，得„，„，正项数列的前项和满足求数列的通项公式令，数列的前项和为，证明对于任意的∈，都有所以∈时时，适合上式所以∈证明由∈，得，„∈即对于任意的∈，都有组专项能力提升时间分钟已知数列，„，„，„，若，那么数列的前项和答案解析„，，„已知数列，„，这个数列的特点是从第二项起，每项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和答案解析由已知得，故数列的前项依次为，由此可知数列为周期数列，周期为，且，数列是等差数列，数列满足∈，设为的前项和若，则当取得最大值时的值为答案解析设的公差为，由，得所以，从而可知当时当时，从而„„，故„，„因为所以，所以，所以，故当取得最大值时在数列中，如果是与的等比中项，那么„的值是答案解析由题意可得，⇒，又又≠，⇒，又可知≠是以为首项，为公差的等差数列，⇒⇒，„„山东已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为求数列的通项公式设，求数列的前项和解设数列的公差为，令，得，所以令，得，所以解得所以经检验，符合题意由知，所以„，所以„，两式相减，得„所以步步高江苏专用版高考数学轮复习第六章数列数列求和文求数列的前项和的方法公式法等差数列的前项和公式等比数列的前项和公式ⅰ当时ⅱ当≠时，分组转化法把数列的每项分成两项或几项，使其转化为几个等差等比数列，再求解裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项常见的裂项公式倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广错位相减法主要用于个等差数列与个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广并项求和法个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如类型，可采用两项合并求解例如，„„思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或如果数列为等比数列，且公比不等于，则其前项和当时，求„之和时，只要把上式等号两边同时乘以即可根据错位相减法求得数列的前项和为推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得„教材改编数列的前项和为，若，则答案解析，„„数列的通项公式为，则它的前项之和答案解析„„等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前项的和为答案解析因为，所以的前项和为若数列的通项公式为，则数列的前项和答案解析数列的通项公式为，其前项和为，则答案解析因为数列呈周期性变化，观察此数列规律如下，故题型分组转化法求和例已知数列的前项和，∈求数列的通项公式设，求数列的前项和解当时当时，也满足，故数列的通项公式为由知，故记数列的前项和为，则„„记„，„，则，„故数列的前项和引申探究例中，求数列的前项和解由知当为偶数时，„„当为奇数时，„„，为偶数为奇数思维升华些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论已知数列的通项公式是，求其前项和解„„„，当为偶数时，当为奇数时综上所述，，为偶数为奇数题型二错位相减法求和例湖北设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，求数列，的通项公式当时，记，求数列的前项和解由题意得即解得或，故或由，知故，于是„，„可得„，故思维升华用错位相减法求和时，应注意要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形在写出与的表达式时应特别注意将两式错项对齐以便下步准确写出的表达式在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解已知数列的各项均为正数，是数列的前项和，且求数列的通项公式已知，求„的值解当时，解得又，当时得，即数列是以为首项，为公差的等差数列„，„，④④，得„题型三裂项相消法求和命题点形如型例设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，∈求的值求数列的通项公式